186 
Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Zwischen dem Grenzwerte fix), der Partialsumme s n (x) 
und dem zugeordneten Reste r n (x) besteht die Beziehung 
fix) = s n (x) -(- r n (x); 
der Behauptung des Satzes zufolge muss sich zu einem beliebig- 
festgesetzten positiven s ein positives d so bestimmen lassen, 
dass (17, 2)) 
1 f( x ) — fi x ') 1 < £ 
für jedes Wertepaar x, x aus (a, ß), für welches | x—x (<d. 
In der That, vermöge der gleichmässigen Stetigkeit kann 
n so gross gewählt werden, dass für jeden Wert aus (cc, ß) 
l r *(®)l <Y’ 
also auch 
da ferner s„(x) als endliche Summe stetiger Functionen selbst 
stetig ist, so lässt sich ein positives d so festsetzen, dass 
|s B (a?) — s *( x ') 1 < Y’ 
wenn nur [ x — x | < d. Hieraus folgt, was zu beweisen war, 
nämlich: 
\f(x)~f(x)\ 
= 1 {s n (x) — s n (x)} + r n (x) — r n (x') 1 < Y -f = s. 
83. Unter den Reihen mit variaheln Gliedern sind am 
wichtigsten die Potenzreihen. Man versteht unter einer Potenz 
reihe eine Reihe, deren jedes Glied das Product aus einer 
Constanten — dem Coefficienten — und aus einer ganzen 
positiven Potenz der Variabein x ist; ihre allgemeine Form 
lautet demnach 
(9) O/q —f— Oi j x —(- a 2 x2 ~h * * •; 
unter a 0 , %, a 2 ,. . . sollen, wenn nichts anderes bemerkt wird, 
reelle Zahlen verstanden werden. 
Aus den allgemeinen Sätzen über die Convergenz unend 
licher Reihen kann zunächst der folgende Satz abgeleitet werden: 
a.. 
Convergirt der Quotient 
a n+1 
mit beständig wachsendem n 
gegen eine bestimmte Grenze l (welche auch 0 oder -f- oo sein