Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Aus dieser Vergleichung kann überdies bei bekanntem x 
eine obere Grenze für den Fehler abgeleitet werden, welcher 
begangen wird, wenn man sich bei der Reibe (9) auf die 
Summe der n -f- 1 ersten Glieder beschränkt; es ist nämlich 
K 0*01 = 1 a n+iX n+1 + a n+ zX n + 2 -{- •••■(<] a n+1 x n + x \ +1 a n+ %x n + 2 \ +• 
n-\-l 
<% 
n-J—1 
-f- x 
X 
B-f-2 
+ ••• = 
der absolute Betrag dieses Fehlers also kleiner als die zuletzt 
angescbriebene Grösse. 
Aus diesem Satze können die nachstehenden Folgerungen 
gezogen werden. 
1) Ist die Reihe (9) für x — X convergent, so ist sie 
auch für jeden Wert von x, dessen absoluter Betrag kleiner 
ist als j X |, convergent. 
Denn da sie für x — X convergirt, so sind für diesen 
Wert alle ihre Glieder endlich, liegen also insgesammt unter 
einer Grenze x. 
2) Ist die Reihe (9) für x — X divergent, so ist sie es 
auch für jeden Wert von x } der dem Betrage nach grösser ist 
als \X\. 
Wäre sie nämlich für einen solchen Wert — gegen die 
Behauptung — convergent, so müsste sie für den Wert X 
zufolge 1) auch convergent sein — gegen die Voraussetzung. 
3) Gilt bezüglich X die in dem obigen Satze getroffene 
Voraussetzung, so ist die Reihe (9) in jedem Intervall (a, ß), 
dessen Grenzen dem Betrage nach kleiner sind als j X |, gleich- 
mässig convergent und definirt daher in einem solchen Intervalle 
eine stetige Function von x (82). 
Man kann nämlich einen Wert x annehmen, dessen Be 
trag | x | grösser ist als | a | und j ß | (also auch grösser als 
die Beträge aller Werte aus (a, ß)) und doch kleiner ist als 
1 X |; dem Satze zufolge ist die Reihe für diesen Wert absolut 
convergent und daher kann die natürliche Zahl m so bestimmt 
werden, dass 
| a n j r xx' n + 1 j + | a n+2 ^+ 2 1 -| < s