190 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
für jedes n > m, wobei’ e eine beliebig klein festgesetzte 
positive Zahl bedeutet. Ist nun x ein Wert aus dem Intervall 
(a, ß) [mit Einschluss der Grenzen], so ist wegen \x \ < \ x \ 
um so mehr 
\a n+1 x n + 1 \ -f 1 a n j r %x n + 2 1 -\ < e 5 
und da endlich 
Ir n {x)I = \o n +iX n+1 -{-a n+2 x n + 2 + • • ■ 1 <^\a n + x x n + l \ -f- \a n+2 x n + 2 \-f- 
so ist auch, und zwar für jeden Wert aus (a, ß) [mit Ein 
schluss der Grenzen] 
\r n {x)\<E-, 
dadurch ist aber die gleichmässige Convergenz erwiesen (80). 
Aus der Stetigkeit der durch die Reihe definirten Func 
tion ergibt sich der folgende Schluss: Ist x 0 ein Wert von x, 
dessen Betrag kleiner ist als \X\, und convergir!.x gegen die 
Grenze x 0 , so convergir! f(x) gegen die Grenze f(x 0 ), d. h. 
es ist 
f{x 0 ) = lim f{x) = a 0 -f a x x 0 -f a 2 x 0 2 -j 
x=x 0 
Insbesondere folgt daraus 
f( 0) = %, 
so dass eine durch eine Potenzreihe definirte Function für 
x — 0 nur dann verschwindet, wenn die Reihe kein von x 
freies Glied enthält. Wenn allgemein 
fix) = a n x n -f a n+x x n+1 + • • • 
und wenn die Reihe convergir! für alle Werte von x, die ab 
solut genommen kleiner sind als | X |, so convergirt für die 
selben Werte auch die Reihe 
(-f“ -j- X n -\-2^ 2 -{-••• = ffix) 
und es ist 
■ fix) = x n (pix), 
und da cp{x) für x — 0 nicht verschwindet, so hat die Gleichung 
fix) = 0 
x — 0 zur n-fachen Wurzel. 
85. Durch die letzte Folgerung ist die gleichmässige 
Convergenz einer Potenzreihe und die Stetigkeit der durch sie 
definirten Function für jedes Intervall erwiesen, das innerhalb 
des Convergenzintervalls liegt. An den Grenzen dieses Inter