y*
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Erster Theil. Differential - Rechnung.
nun, der Definition der Multiplication gemäss, das Resultat
der vorgelegten Division, den Quotienten, dar und wird mit
~ bezeichnet. Eine Zahl dieses Bildungsgesetzes wird Bruch
genannt; während die natürliche Zahl a ein Aggregat natür
licher Einheiten vertritt, bedeutet der Bruch — ein Aggregat
ebensovieler Brucheinheiten, deren b eine natürliche Einheit
ausmachen.
Die Vergleichung der Brüche unter einander und mit
ganzen Zahlen, also auch ihre Anordnung nach der Grösse,
beruht auf der Möglichkeit, sie auf gleichen Nenner zu bringen,
d. i. als Aggregate gleicher Brucheinheiten darzustellen; als
gemeinsamer Nenner ist jedes gemeinschaftliche Vielfache der
vorhandenen Nenner verwendbar; die Vergleichung erfolgt
dann an natürlichen Zahlen, den Zählern der transformirten
Brüche. Auf denselben Umstand gründet sich die Thatsache,
dass man zwischen zwei ungleiche Brüche immer wieder Brüche
einschalten kann; man wähle als gemeinsamen Nenner ein so
grosses Vielfache der beiden Nenner, dass die neuen Zähler
um mehr als eine Einheit sich unterscheiden, so dass zwischen
sie andere Zahlen eingeschaltet werden können.
Die Vergleichung der Brüche und ihre Anordnung nach
der Grösse wird auch erreicht durch eine Darstellung derselben,
welche jener der natürlichen Zahlen im dekadischen Zahlen
system nachgebildet ist; man verwandelt die Brüche in Aggre
gate von Bruchtheilen nach dem Nenner 10 und seinen auf
einander folgenden Potenzen und bezeichnet diese Form als
Becimalbruch. Ist ~ ein auf seine kleinste Benennung redu-
cirter Bruch, so lehrt die Arithmetik ein Verfahren, durch
welches man ihm die Gestalt
[ _ 2 I
I io 2 ‘ 10 £
+
y = «o + 10
verleiht, wobei a 0 eine natürliche Zahl bedeutet, während
unter cc 1} a 2 , a 3 , . . . je eine der zehn Ziffern 0, 1, 2, . . . 9 zu
verstehen ist. Das betreffende Verfahren schliesst von selbst,
wenn b Theiler einer Potenz von 10, also nur aus den Factoren
2 und 5 zusammengesetzt ist; im andern Falle bietet hier die
