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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Zahlen sind, geht folgendes hervor. Da alle 6 2 ,... 6 P dem 
absoluten Betrage nach kleiner sind als £, so wird diese rechte 
Seite dem Betrage nach vergrössert, wenn man statt der 
6 1} 6%, ... 6 P durchwegs e setzt; daher ist 
| a w+ i/3"+ 1 0 1 + a n+2 ß n + 2 Q 2 H h a n +pß n+p 0 P \ < «©i; 
sind nun überdies die Beträge der Zahlen 0 unter der Einheit 
gelegen, so dass auch das grösste 0 1 < 1, so gilt umsomehr 
(13) \a n+1 ß n + i Q 1 -{-a n+2 ß n + 2 e 2 -\ h a n +pß n +PQp | < £. 
Eine Zahlenreihe von den Eigenschaften der Reihe (12) ist 
wenn nur \x\<\ß\ und x, ß gleich bezeichnet sind; führt 
man sie in (13) ein, so entsteht 
1 a n+x x n + l + a n+2 x n + 2 H (- a n+p x n +P j < e. 
Diese Relation, gütig für jedes p aus der Reihe 1, 2, 3,... und 
für jedes x, das mit ß gleichbezeichnet dem absoluten Betrage 
nach kleiner ist als j ß |, nach der Voraussetzung aber auch 
gütig für x = ß selbst, beweist in der That die gleichmässige 
Convergenz der Reihe (9) in dem Intervall (0, ß) resp. (ß, 0) 
mit Einschluss der Grenzen, und mit Berücksichtigung der an 
die Spitze des Beweises gestellten Bemerkung findet nun die 
gleichmässige Convergenz in dem ganzen Intervall («, ß) statt, 
wenn nur | a | <\ß |. 
Aus diesem Satze ergibt sich folgende wichtige Folgerung: 
Ist f(x) der Grenzwert der Beihe (9) auf ihrem Convergenz- 
gebiete (a, ß) mit Einschluss der Grenzen, und nähert sich x 
der Grenze ß durch Werte, welche dem absoluten Betrage nach 
Meiner sind als ß, so nähert sich fix) vermöge seiner Stetigkeit 
der Grenze f(ß), so dass 
f(ß) = «0 + a iß + a zß 2 + ■ • • 
Dieser Schluss dürfte nicht gemacht werden, wenn die Reihe 
(9) für x — ß nicht convergent wäre, selbst wenn f(x) an der 
Stelle x = ß stetig wäre. 
Zwei Beispiele mögen dies erläutern. Die Reihe