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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
Hiernach ist also beispielsweise mit der Reihe 
1 -j- x -f- x 2 -f- + • • • 
gleichzeitig die Reihe 
1 -f 2x + 3x 2 -| 
absolut convergent, solange \x\ < 1. 
Unabhängig von der Existenz des Grenzwertes für 1 —— 
\ a n-\-1 
kann die obige Behauptung auch so erwiesen werden. An 
genommen, für den Wert x = X seien die Glieder von (9) 
dem absoluten Betrage nach unter der positiven Zahl k ge 
legen, also 
\a n X n \ <k 
für jedes w; dann ist dem ersten Abel’sehen Satze gemäss 
(9) absolut convergent für jedes x, wofür |#|<|X|. Nun 
aber ist für das allgemeine Glied von (14) 
na n x n 
n 
XI 
X 
..z* (J)’ 
X 
n—1 
X 
a n X , < n ^ 
infolge dessen, wenn man 
setzt, 
= 9 
l«i I + I 2%^ 1 + I 3a z x 2 1 -j < -r~xj (1 + %9 + 3g 2 -{- • • •); 
die in der Klammer rechts eingeschlossene Reihe ist aber nach 
der vorausgeschickten Bemerkung convergent, wenn q < 1, 
daher ist auch die Reihe 
! 1 | —j— | 2 (l^ x | —f— j 3 £lg x? [ —j— • • ■ 
convergent und infolge dessen die Reihe (14) absolut conver 
gent für alle x, welche dem absoluten Betrage nach kleiner 
sind als | X |. 
Auf Grund von 84, 3) ist die Convergenz von (14) in 
jedem Intervalle, dessen Grenzen dem Betrage nach kleiner sind 
als |X|, eine gleichmässige und ist der Grenzwert von (14) 
ebenso wie der von (9) eine stetige Function von x. 
An den Grenzen des Convergenzintervalls, selbst wenn für