198 
Erster Theil. Differential -Rechnung. 
der Voraussetzung, dass f{x) der Grenzwert einer convergenten 
Potenzreihe sei. 
Als convergente Potenzreihe kann auch jede rationale 
ganze Function von x angesehen werden; ihr Convergenzinter- 
vall erstreckt sich über das ganze Gebiet der reellen Zahlen; ist 
f{x) = a 0 -j- a x x -f- a 2 x 2 + • • • + a n x n , 
so ist 
/*(”)(x) — n(n — 1) • • • 1 ■ a n 
und jeder höhere Differentialquotient gleich Null; für eine 
solche Function bricht also die Taylor’sehe Reihe ebenfalls 
mit dem (w-j-l)-ff en Gliede ab und lautet 
(20 + + 
sie ist gütig für jeden endlichen Wert von x und von h. 
88. Um die Bedingungen festzustellen, unter welchen 
zwei Potenzreihen eine und dieselbe Function darstellen, weisen 
wir zunächst den folgenden Satz nach. 
Wenn die durch die convergente Potenzreihe 
a 0 -(- a ± x -J- a 2 x 2 -)-••• 
definirte Function f(x) für alle Werte von x aus einem beliebig 
engen Intervall (—d, -)- ó) Null ist, so ist sie für alle Werte 
von x gleich Null, weil dann die Coefficienten der Potenzreihe 
sämmtlich verschwinden müssen. 
Weil der Wert x — 0 dem Intervall angehört, so ist 
f(0) = a 0 = 0; 
daher ist 
f(x) = a x x -j- a2% 2 + • • * = x{a t a z x + •••)> 
und soll dies letzte Product an jeder Stelle von (—d, -f- d) 
gleich Null sein, so muss 
«x + a 2 x + a 3 x 2 + ••• 
für alle diese Werte von x verschwinden, wofür wieder 
a 1 = 0 
nothwendige Bedingung ist; dann aber ist 
f{x) = a 2 x 2 -f- a 3 x s -{-••• = x 2 (a 2 a 3 x + •••)>