Vierter Abschnitt. Reiben. 
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und damit das Product rechter Hand an allen Stellen des 
Intervalls (—d, H~d) verschwinde, muss dies seitens des Factors 
a 2 -f- a 3 x -}- a^x 2 -(-••• 
geschehen, und dafür besteht die nothwendige Bedingung 
a 2 — 0 
u. s. w. Es muss also thatsächlich a n = 0 sein für jedes n 
aus der Reihe 0, 1, 2,...; dann aber ist für jeden Wert 
von x 
f{x) = 0. 
Der Satz gilt auch für eine rationale ganze Function, weil 
eine solche als besonderer Fall einer convergenten Potenzreihe 
zu gelten hat. 
Die Beweisführung hat hier an den Umstand angeknüpft, 
dass dem Intervall (— 8, -f- 8) auch die Stelle Null angehört. 
Man kann aber ganz allgemein beweisen: 
Wenn die Function f(x) = a 0 -)- a x x ~h a 2 x2 -j für alle 
Werte von x aus einem beliebigen die Null nicht enthaltenden 
Intervalle (a, ß) ihres Convergenzgebietes Null ist, so ist sie 
identisch Null. 
Wählt man nämlich innerhalb {a, ß) einen Wert x, so 
lassen sich für h Grenzen (—s, -j- s) feststellen derart*), dass 
auch x -f- h innerhalb (a, ß) verbleibt; dann ist nach Voraus 
setzung 
fix -j— hiß = Uq —(— Uyh -j— u 2 h 2 —(— • • • 
für alle Werte von h aus (— s, -j- s) gleich Null, daher noth- 
wendig 
(21) u 0 — 0, u x = 0, u 2 — 0, • • • 
für alle Werte von x innerhalb (a, ß). Von dem der Null 
näherliegenden Werte x = a ausgehend kann man nun ein 
Intervall construiren, das bis an die ihm näherliegende Grenze 
des Convergenzgebietes reicht, dessen Mitte a ist und in welchem 
vermöge (21) und (18) f(x) beständig Null ist. Von dem der 
Null zunächstliegenden Punkte dieses Intervalls ausgehend con- 
struire man ebenso ein erweitertes Intervall, in welchem wieder 
*) Man braucht nur s kleiner zu nehmen als den kleineren von 
den beiden Abschnitten, in welche (a, ß) durch das gewählte x zerfällt.