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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
nothwendig zwischen dem kleinsten und dem grössten der 
Werte, welche die rechte Seite von (5) annimmt, indem 9 das 
yorgeschriebene Intervall (0, 1) durchläuft. 
Vermöge der Bedeutung, welche dem R n zukommt, ist also 
(6) 
h) 
/» + 
f n - x \x) 
i w 
l 
* + 
1 • 2 
F + 
1 • 2 •••(%— 1) 
h n ~ x + li n 
Diese Gleichung in Verbindung mit (5) gibt die Taylor’sehe 
Formel in derjenigen Gestalt, welche ihr in Ansehung des 
Restgliedes R n Schlömilch und Roche ertheilt haben. Die 
älteren Formen des Restgliedes nach Lagrange und Cauchy 
erhält man aus (5) durch Specialisirung von p 7 erstere für 
p = n: 
m 
letztere für p = 1: 
Rn = 
f 1 * n) (x + Qh) 
1 • 2 • ■ • n 
h n , 
(8) 
R 
n 
f n \x + Qh) 
1 • 2 •••(»— 1) 
(1 — 
die Form (7) ist dadurch bemerkenswert, dass sie sich bis 
auf das Argument bei fW dem Bau der übrigen Glieder von 
(6) völlig anschliesst. 
Für die späteren, überaus zahlreichen Anwendungen der 
Taylor’sehen Formel sind die folgenden Bemerkungen im 
Auge zu behalten. 
1) Die Formel darf für alle Werte von x und h angesetzt 
werden, welche so beschaffen sind, dass x sowohl als x -f- h 
in dem Intervall (a, ß) liegen, in welchem f(x) nebst den 
n—1 ersten Differentialquotienten stetig und der n-te Diffe 
rentialquotient vorhanden ist. Betrachtet man x als fest, so 
sagt man, die Formel gelte für die Stelle x\ h darf dann 
innerhalb gewisser Grenzen variabel sein. 
2) Die Formel darf für jedes n angesetzt werden, wenn 
nur die eben ausgesprochenen Bedingungen bis zu diesem Ord 
nungsexponenten erfüllt sind. Für n — 1 reducirt sich die 
Taylo r’sche Formel auf 
f{x + h) = f{x) + 
fix -f Qh) Ä 
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