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Erster Theil. Differential-Rechnung.
folgt. Die Gleichung (12) in Verbindung mit einer oder der
andern der beiden letzten Gleichungen bezeichnet inan als
Maclauririsehe Formel. Ihr analytischer Inhalt fällt im Wesen
mit jenem der Taylor’sehen überein.
Die Bedingungen des Ansatzes (12) fliessen unmittelbar
aus 90, 1) und lauten dahin, dass 0 und x in jenem Intervall
(a, ß) gelegen sein müssen, in welchem f(x) nebst den n—1
ersten Differentialquotienten stetig ist und überdies den n-ten
Differentialquotienten zulässt.
93. Wenn die Function f(x) in einem Intervalle, das die
Null einschliesst, Differentialquotienten aller Ordnungen besitzt,
welche wie f(x) selbst stetig sind, und wenn überdies das
Restglied B n mit wachsendem n der Grenze Null sich nähert,
so besteht der Ansatz
(15) fix) = f(0) + f -p x + ^ x 2 ■ ■ ■
zurecht, welchen man als Maclauriri sehe Heike bezeichnet.
In Verbindung mit früher schon festgestellten Thatsachen
(88) kann man dieses wichtige Ergebnis in folgendem Satze
zusammenfassen: Die nothwendige und auch hinreichende Be
dingung dafür, dass eine Function fix) in eine nach x fort
schreitende Potenzreihe entwickelbar sei, besteht in der Existenz
und Stetigkeit der Bifferentialquotienten aller Ordnungen und in
der Convergenz des Bestgliedes B n gegen die Grenze Null bei
beständig wachsendem n. Die Entwicklung ist nur auf eine
Art möglich und durch die Maclauriri sehe Beihe bestimmt.
Dem Wesen nach lösen die Taylor’sche und die Mac-
laurin’sche Reihe die nämliche Aufgabe; die Entwicklung
einer Function in eine Potenzreihe; die erstere leistet dies an
einer beliebigen Stelle des Intervalls (a, ß), die letztere nimmt
die Null zum Ausgangspunkte.
In den folgenden Artikeln werden wir uns mit der Ent
wicklung einiger elementaren Functionen in Potenzreihen nach
der Variablen x befassen und in diesen Reihen zunächst ein
Hilfsmittel erblicken, die Werte dieser Functionen für jeden
zulässigen Wert der Variabein mit jedem gewünschten Grade
der Genauigkeit zu berechnen.
