Vierter Abschnitt. Reihen. 
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für alle Werte von x, für welche das Restglied der bei 
(— l) n ~ 2 w ‘ZTi abgebrochenen Reihe 
(— i)”— 1 (i — ef 
(i + ex) n 
jenachdem man sich an die Form (13) oder (14) in 92 hält, 
mit wachsendem n gegen Null convergirt. 
Das Convergenzintervall der Reihe (24) ist aus 83 be 
kannt; es ist durch — 1 einerseits und -|-1 andererseits 
begrenzt und an seiner oberen Grenze findet noch bedingte 
Convergenz statt; nur auf dieses Intervall braucht also die 
Untersuchung des Restgliedes erstreckt zu werden. Für 0 < x<^ 1 
zeigt die erste Form 
in welcher , x n sicher ein echter Bruch ist*), dass 
1 4- fl er. ' ’ 
1 -j- 0 X 
lim JR n = 0. Für — 1 < x < 0 schreibe man — j x ' für 
x und die zweite Form des Restgliedes 
1 äs | !\x \ — e|ajj\» 
1 — 0 V 1 — 6 \x\ / 
in welcher der eingeklammerte Bruch wieder echt ist, zeigt, 
dass auch jetzt lim B n — 0. 
Die Gleichung (24) besteht also zurecht, so lange 
— 1 + 1 
und gibt auch an der oberen Grenze der Wert l. (1 -j- x) für 
diese Grenze (85), nämlich 
die Reihe ist für positive Werte von x alternirend und hat für 
negative Werte von x durchwegs negative Glieder; vermöge 
ihres Geltungsbereiches lässt sie die Berechnung der natürlichen 
Logarithmen aller Zahlen aus dem Intervall (0, 2) zu. 
Um zu einer Reihe zu gelangen, welche die Berechnung 
der Logarithmen aller Zahlen gestattet, verbinde man die 
beiden Gleichungen 
*) Denn 6 kann weder 0 noch 1 sein.