Vierter Abschnitt. Reiben. 
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Ist jedem Werte von z eines gewissen Bereiches P, wel 
cher durch einen Theil der Ebene geometrisch dargestellt ist, 
ein und nur ein bestimmter Wert einer anderen complexen 
Yariabeln w — u -(- iv zugeordnet, so ist hierdurch w als 
einwertige Function der complexen Variabein z definirt; man 
drückt dies durch einen der Ansätze 
w = f(z) 
oder 
u -f- iv — f(x -j- iy) 
aus; dabei sind u, v reelle Functionen der beiden unabhängigen 
Variabein x, y. 
Man kann, eine zweite auf ein rechtwinkliges Coordinaten- 
system 0{UV) bezogene Ebene zu Hilfe nehmend, auch jeden 
einzelnen Wert von w = u -f- iv durch einen Punkt verbild 
lichen, der u zur Abscisse und v zur Ordinate hat. Solcher 
gestalt ist jedem Punkte der Ebene der z aus dem Bereiche 
P ein bestimmter Punkt der Ebene der w zugeordnet und man 
sagt, die zweite Ebene sei auf die erste eindeutig bezogen oder 
sie sei eine Abbildung derselben. 
Gehören zu jedem Werte von z mehrere oder unbeschränkt 
viele Werte von w, so heisst w eine mehrdeutige, beziehungs 
weise unendlich vieldeutige Function von z. 
Wenn in dem ersten Falle, dem der eindeutigen Function, 
zu jedem Werte von z aus P ein anderer Wert von w gehört, 
so ist auch jedem Werte von w eines gewissen Bereiches Q 
ein und nur ein bestimmter Wert von z zugeordnet: z ist also 
auch eindeutige Function von w 
z — cp (w); ■ 
gehört hingegen zu mehreren oder unbeschränkt vielen ver 
schiedenen Werten von z aus P je ein Wert von w, so gehören 
zu einem Werte von w eines gewissen Bereiches Q mehrere 
oder unendlich viele Werte von es ist also z als mehr- oder 
unendlich vieldeutige Function von w aufzufassen. In beiden 
Fällen bezeichnet man cp als die umgekehrte Function von f 
(12, 27). 
Im Folgenden werden die elementaren Functionen einer 
complexen Variabein einer kurzen Erörterung unterzogen.