Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Vielfaches hiervon ist. Die Ebene XOY ist daher unendlich 
vielfach auf die Ebene UOV abgebildet (lOO). 
Verbindet man die Gleichung (12) oder 
= COS X -j- i sin X 
e l 
mit der aus ihr durch Zeichenänderung des x hervorgehenden 
e~ ix — cos x — i sin x 
durch Addition und Subtraction, so ergeben sich die eben 
falls von Euler aufgestellten Formeln 
(15) 
104. Unter dem natürlichen Logarithmus der complexen 
Variabein z = x-\-iy soll jede complexe Variable w — u-\-iv 
verstanden werden, welche für alle Werte von x, y die Be 
ziehung 
erfüllt; mit anderen Worten, wie bei reellen Variabein soll der 
natürliche Logarithmus die Umkehrung der natürlichen Potenz 
sein. Er möge mit L.z bezeichnet werden zum Unterschiede 
gegen den bisher allein betrachteten reellen Logarithmus einer 
reellen positiven Variabein x, der mit l.x bezeichnet worden ist. 
Aus 
e w _ e u+iv _ e «( CO s v -f- i sin v) = x -(- iy 
folgt aber nach dem Grundsätze, dass zwei complexe Grössen 
nur dann gleich sind, wenn die reellen Bestandtheile und die 
Coefficienten von i beiderseits übereinstimmen, dass 
e u cos v — x 
e u sin v = y; 
daraus ergibt sich für den Modul von e w , d. i. für e u , der Wert 
lv^+? 
woraus 
u = l. [ Yx 2 -(- y 2 
x 
cos v = — , 
u ' 
e 
V 
sin v = — , 
ferner