Vierter Abschnitt. Reihen. 
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lim l - C 1 + x + + 1 ^ ~ x + xis > 
x= o e x -)- e~~ * — 2 cos x 
2x -f- 4ic 3 /2 -(- 10ic ä — 2ic 4 — 4ic 6 \ 
lim 1 + + x* _ ( (1 + a; 2 + a; 4 ) 2 1 = l 
a;=o e x — e~ x -f- 2 sin x V e x + e~ x + 2cos x J x =o 2 
108. Ffe habe die Function f(x) wieder die Form eines 
Bruches der stetigen Annäherung von x an die Grenze 
a mögen jedoch Zähler wie Nenner, jeder mit einem bestimmten 
Vorzeichen, ins Unendliche wachsen. Bann nimmt f(x), wie 
man dies kurz ausdrückt, an der Stelle x = a die unbestimmte 
Form —- an; der Grenzwert dagegen, welchem sich dabei f(x) 
im gegebenen Falle nähert, hängt wieder von der Ordnung 
des Unendlichwerdens von Zähler und Nenner ab. 
Einen wichtigen Fall, in welchem die Frage leicht erledigt 
werden kann, bildet die Function 
wo n > 0 vorausgesetzt wird; für lim x — -j- oo wachsen 
Zähler und Nenner, positiv bleibend, ins Unendliche; wie gross 
aber auch x und m ist, es gilt 
> 1 + f + f-* + --- + rr 
daher auch 
i + 4 + 
> 
1 • 2 
+ ••• + 
1-2 • • ■ m 
wo immer m > n vorausgesetzt werden kann, so dass der 
rechtsseitige Bruch mit x über jeden positiven Betrag wächst; 
daher ist 
lim = _i_ oo . (n> 0). 
Es wird also die natürliche Potenz e x (und jede Exponential- 
grösse a x , in welcher a > 1) für lim x — -f- oo unendlich 
gross von höherer Ordnung als jede noch so hohe algebraische