Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 259 
für alle Werte von h, welche der Bedingung 
H <n 
genügen, mit alleiniger Ausnahme von h — 0. Es ist selbst 
verständlich, dass das Intervall (a — 17, arj), welches die 
Umgebung von a ausmacht, ganz in dem Intervalle (a, ß) 
enthalten sein muss. 
Die zulässige Grösse der Umgehung, also der äusserste 
Wert von rj, wird davon ahhängen, wie häufig f(x) in (a, ß) 
zwischen Wachsthum und Abnahme wechselt; es darf aber für 
den Zweck der Untersuchung 17 unter diesem äussersten Werte 
bleiben und beliebig klein angenommen werden. 
Die Begriffe des Maximums und Minimums beziehen sich 
also nicht auf die Gesammtheit der Werte der Function, son 
dern immer nur auf die Werte einer beliebig engen Umgebung. 
Eine Function kann in dem ihr zugewiesenen Intervalle meh 
rere oder selbst unbegrenzt viele Extreme erlangen und unter 
ihren verschiedenen Maximis kann es ein grösstes, ebenso 
unter ihren Minimis ein kleinstes geben; das erstere stellt dann 
den absolut grössten, das letztere den absolut kleinsten Wert 
dar, welchen die Function innerhalb (a, ß) erreicht; mit diesen 
Werten wären noch diejenigen an den Grenzen des Intervalls, 
nämlich f{cc) und f(ß) zu vergleichen. 
113. Der Übergang vom Wachsen zum Abnehmen oder 
umgekehrt kann in verschiedener Weise vor sich gehen. Wir 
stellen den wichtigsten, die Regel bildenden Fall an die Spitze 
und setzen voraus, die Function f(x) besitze an jeder Stelle 
innerhalb (a, ß) einen Differentialquotienten im eigentlichen 
Sinne oder einen vollständigen Diflferentialquotienten (20). Unter 
dieser Voraussetzung lässt sich der Satz erweisen, dass an 
einer Stelle, an welcher die Function ein Extrem erreicht, ihr 
Eifferentialquo tient verschwindet 
Im Falle eines Maximums ist nämlich vermöge der Re 
lation (1) 
fja + h)~ fja) 
in 
für Werte von h aus dem Intervalle (—17, 0) positiv, für 
Werte aus (0, rj) negativ, und der eine Grenzwert dieses Quo