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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
tienten für lim h = -f- 0 kann daher weder negativ noch positiv 
sein ; es muss also 
(3) f(a) = 0 
sein. Im Falle eines Minimums ist derselbe Quotient vermöge 
(2) links von a negativ, rechts davon positiv, sein als existirend 
vorausgesetzter Grenzwert für lim h = + 0 kann deshalb weder 
positiv noch negativ, muss also nothwendig gleich Null sein. 
Daraus aber ist der folgende Schluss zu ziehen: Wenn 
die Function f(x) an jeder Stelle zwischen a und ß einen eigent 
lichen Differentialquotienten besitzt, so sind die Werte von x, 
für welche sie ein Extrem erlangen kann, unter den Wurzeln 
der Gleichung f(x) = 0 zu suchen. 
Wäre x = a eine dieser Wurzeln, so bestünde die un 
mittelbarste Entscheidung der Frage, ob hier ein Extrem und 
welches von beiden stattfindet, in der Untersuchung des Vor 
zeichens von f'{a-j-Ä) für entsprechend kleine, entgegengesetzt 
bezeichnete Werte von h] ist nämlich f(a -f- h) in einer ent 
sprechend klein festgestellten Umgebung von a links von a 
positiv, rechts davon negativ, so ist f{x) in dieser Umgebung 
links von a wachsend, rechts von a abnehmend und erlangt 
in a selbst ein Maximum; bei dem umgekehrten Verhalten 
ein Minimum. 
Die Function f{x) — 2x 3 — 3a; 2 -f- b beispielsweise besitzt 
für alle Werte von x einen eigentlichen Differentialquotienten 
fix) — 6x(x — 1), 
und die Gleichung fix) = 0 hat die beiden Wurzeln x = 0 
und x = 1. Bedeutet d eine positive Zahl < 1, so ist 
/■'(— d) = 6d(l + d)>0 ■ 
f(d) = -6d(l — d)<0; 
demnach hat die Function an der Stelle x = 0 ein Maximum, 
und dieses ist f(0) = b. Ferner ist unter der gleichen Vor 
aussetzung über 8 
f\ 1 — d) = — 6d(l — 8) < 0 
f(l + i)= 6i(l + tf)>0, 
an der Stelle x — 1 tritt also ein Minimum ein, und dasselbe 
ist /■(!) = b — 1.