Erster Abschnitt. Variable und Functionen. 
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den Fall 
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durch ist jede Rechnung zwischen irrationalen Zahlen zurück 
geführt auf die entsprechende Rechnung mit rationalen Zahlen, 
nämlich mit genügend späten Gliedern der die irrationalen 
Zahlen definirenden Fundamentalreihen. 
5. Das aus den rationalen und irrationalen Zahlen zu 
sammengesetzte System wird das System der reellen Zahlen 
genannt. Dasselbe lässt eine bemerkenswerte geometrische 
Yersinnlichung zu, aus welcher eine wichtige Eigenschaft dieses 
Systems erschlossen werden soll. 
In einer geraden Linie nehme man einen Punkt an, ordne 
ihm die Null zu und bezeichne den einen der beiden Strahlen, 
in welche die Gerade hierdurch zerlegt ist, als den positiven, 
den andern als den negativen; ferner setze man eine Strecke 
als Vertreter der natürlichen Einheit 1 fest. Um die (positive 
oder negative) ganze Zahl a darzustellen, trage man eine Strecke 
von \a \ Einheiten vom Nullpunkte aus (auf dem positiven, respec- 
tive negativen Strahl) auf; der Endpunkt dieser Strecke sei 
das Bild von a. Um den (positiven oder negativen) Bruch — 
darzustellen, trage man eine Strecke, welche das a-fache des 
&-ten Theils der Einheitsstrecke ist, vom Nullpunkte aus (auf 
dem positiven, respective negativen Strahl) auf; der Endpunkt 
dieser Strecke sei das Bild von ^ . In solcher Weise ist jeder 
rationalen Zahl ein bestimmter Punkt der Geraden zugeordnet. 
Aber die Punkte der Geraden sind dadurch nicht erschöpft; 
so befinden sich darunter die Punkte nicht, welche man erhält, 
wenn man die Diagonale des Quadrates über der Einheits 
strecke vom Nullpunkte aus auf den beiden Strahlen abträgt, 
weil sie den beiden Werten von ]/2 entsprechen, die dem 
System der rationalen Zahlen nicht angehören. 
Dagegen lässt sich jedem Punkte der Geraden eine be 
stimmte Zahl zuordnen. Zunächst schliesse man den Punkt 
durch wiederholtes Abtragen der Einheitsstrecke vom Null 
punkte aus in ein Intervall von der Grösse 1 ein; durch Zehn 
theilung dieses Intervalls in ein solches von der Grösse ^; 
durch Zehntheilung dieses letzteren in ein Intervall von der 
Grösse u. s. w. Vorausgesetzt, dass niemals, wie weit