Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 261 
114. Die Entscheidung kann einfacher getroffen werden, 
wenn die Function f{x) an jeder Stelle innerhalb (a, ß) auch 
einen eigentlichen zweiten Differentialquotienten f"(x) besitzt 
und, wenn dieser an der Stelle x = a nicht Null ist. Es gilt 
dann der Satz; Wenn f"(a) <0, so ist f(a) ein Maximum, 
und wenn f"(a) > 0, so ist f{a) ein Minimum. 
Ist nämlich f"(a) < 0, so muss es eine Umgebung von a 
geben, in welcher auch 
f\a + h)-f'{a) 
h ’ 
wovon ja f"(a) der Grenzwert für lim h = W 0 ist, negativ 
ist; wegen fia) = 0 bleibt in dieser Umgebung auch 
f{a -f h) 
h 
negativ; daher ist f{a -f- h) links von a positiv, rechts davon 
negativ, f{a) also in der That ein Maximum, 
Ist f"(a) > 0, so muss sich eine Umgebung von a be 
grenzen lassen, in welcher auch 
f{a + h)-f(fl) 
h ’ 
oder das diesem gleichkommende 
f(fl + ti) 
h 
positiv bleibt; infolge dessen ist f\a-\-Ji) links von a negativ, 
rechts davon positiv, f(a) also thatsächlich ein Minimum. 
Wenn jedoch f"(a)—0 ist, dann gilt zunächst der fol 
gende Satz; Ist f"(a) = 0 und ^ 0, so ist f(a) kein 
Extrem; ist aber auch f"(a) = 0, dagegen f TV (a) ^ 0, so‘ist 
f(a) ein Extrem und entscheidet das Vorzeichen von f IV {a) über 
die Art des Extrems, wie vorhin f'(a) entschieden hat. 
Wenn nämlich f"{a) — 0 und f"\a) < 0, so sind die Kri 
terien dafür vorhanden, dass f (a) ein Maximum ist; da aber 
f\a) — 0 ist, so muss f\a -(- h) in gehöriger Nähe und zu 
beiden Seiten von a negativ sein; folglich ist f(a) kein Extrem. 
In gleicherweise schliesst man aus f'(a) = 0 und / v "(a)>0, 
dass f\0) = 0 ein Minimum ist, dass also f(a -j- h) in gehöri 
ger Nähe und beiderseits von a positiv sein müsse, woraus 
folgt, dass f(a) kein Extrem ist.