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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Der zweite Theil der Behauptung erweist sich folgen der- 
maassen als richtig. 
Aus f"{a) = 0 und f IV (a) < 0 schliesst man, dass f"(a) = 0 
ein Maximum sei, dass also eine Umgebung von a existire, in 
welcher f'(a -f- h) negativ bleibt mit alleinigem Ausschluss 
von h = 0; in dieser selben Umgebung ist f\a -j- h) abneh 
mend, und da f'(a) — 0, so ist f(a -f- Ji) links von a positiv, 
rechts davon negativ, infolge dessen f(a) ein Maximum. 
In analoger Weise ergibt sich, dass für f IV {a)'> 0 f{a) 
ein Minimum ist. 
115. Um zu einem allgemeinen Kriterium für das Vor 
handensein eines Extrems an einer Stelle x — a, an welcher 
f(x) = 0 ist, zu gelangen, machen wir die Voraussetzung, 
dass die Function f(x) endliche Differentialquotienten bis zur 
Ordnung n besitze, dass ferner ausser f(a) — 0 auch 
/» = 0, f"(a) = 0,... = 0, 
während (a) ^ 0 sei; schliesslich werde angenommen, dass 
ausser den Differentialquotienten bis zur n—1-ten Ordnung, 
welche nothwendig stetige Functionen sind (2l), auch der n-te 
Differentialquotient wenigstens in einer angebbaren Umgebung 
von a stetig sei. 
Unter diesen Voraussetzungen lässt die Function die An 
wendung der Taylor’sehen Formel zu, und diese (90, (6) 
und (7)) gibt 
f{a + h}- f(a) + ^, (0< 9 < X) 
woraus 
(4) f(a + h) - f(a) = Y~n /'">(« + B»). 
Vermöge der Stetigkeit von f^{x) lässt sich eine hinreichend 
kleine Umgebung von a feststellen so, dass innerhalb der 
selben f (n \x) von /(”)(«) um beliebig wenig sich unterscheidet, 
dass also f^(a -j- Qh) dasselbe Vorzeichen hat wie f( n) (a). 
Dann hat für ein gerades n die Differenz h)—f(a) 
in dieser ganzen Umgebung, also zu beiden Seiten von a das 
selbe Vorzeichen wie /W (a); f(a) ist sonach ein Extrem und 
zwar ein Maximum, wenn /W(a) < 0, ein Minimum, wenn 
/W(a) > 0.