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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
verschwindende Differential quotient ist f^(x) = 1 • 2 • • - 
ma 0 -j- 2 • 3 • • ■ (m -J- 1 )a 1 x -j , daher f№>(0) = 1.2 • • • ma 0 . 
Von diesem Satze kann häufig Gebrauch gemacht werden. 
So folgt aus demselben beispielsweise, dass 
rjß2 
y = 2^ + 2 
ein Maximum oder Minimum erreicht bei x — 0, jenachdem 
p < 0 oder p> 0; denn nach obigem gilt dies für y ■— q, und 
zwar ist das Extrem dieser Differenz 0, daher jenes von y 
gleich q. Desgleichen kann über das Extrem von 
y = ax 2 -f- 2ßx -f- y 
entschieden werden; bringt man nämlich diese Gleichung auf 
die Form 
y — r + ^ = ~( ax + ß)*> 
so ist unmittelbar zu erkennen, dass y — y -4- — für x== 
den maximalen oder minimalen Wert 0 annimmt, jenachdem 
a < 0 oder a > 0; dieselbe Erscheinung tritt auch bei y selbst 
ein, und zwar ist dessen maximaler, beziehungsweise minimaler 
ß2 
Wert y — (Scheitel der Parabel.) 
Auch bei der Function 
f(x) = x m {a — x) n , 
in welcher m, n natürliche Zahlen > 2 und a eine positive 
Zahl bedeuten sollen, kann der Satz benützt werden; fasst 
man sie als nach x geordnetes Polynom auf, so ist a n x m 
das niedrigste Glied, daher f(0) — 0 ein Minimum, wenn m 
gerad ist; man kann die Function aber auch in der Gestalt 
(a — (a — x)) m (a — x) n 
schreiben und als nach a — x geordnetes Polynom ansehen, 
dessen niedrigstes Glied dann a m (a — x) n ist; infolge dessen 
ist f(a) = 0 ein Minimum, wenn n gerad ist. Ein Extrem, 
und zwar ein Maximum, besitzt die Function unbedingt; denn 
f'{x) = x m ~ 1 (a — x) n ~ 1 {ma — (m -f- n)x} 
verschwindet ausser an den beiden erledigten Stellen x = 0 
und x = a auch an der Stelle