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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Ist der eine Theil #, so heisst a — x der andere, und 
so handelt es sich um das Maximum von 
fix) = x{a — x) . 
Aus fix) = a — 2# = 0 folgt • x = , und da f"(x) = — 2 
negativ ist, so ist thatsächlich 
f(o>\ « 2 
' \Y/ = T 
der grösstmögliche Wert des Productes. 
Auf diesen einfachen Fall lassen sich mancherlei Probleme 
zurückführen; als Beleg dafür mögen die folgenden dienen. 
a) Unter den Rechtecken von gegebenem Umfange 2 a 
jenes von der grössten Fläche zu bestimmen. 
Heisst eine Seite des Rechtecks x, so ist a — x die andere; 
es soll also a{a — x) ein Maximum werden. Das verlangte 
Rechteck ist demnach das Quadrat. 
ß) Unter den einem gegebenen Kreise vom Durchmesser 
a eingeschriebenen Rechtecken dasjenige von der grössten Fläche 
au fzu suchen. 
Ist x die eine Seite des Rechtecks, so ist das Quadrat 
der anderen a 2 — x 2 , x]/a 2 — x 2 die Fläche; ihr Quadrat 
a 2 
# 2 (a 2 — x 2 ) wird ein Maximum für x 2 = ~, die Fläche selbst 
a 2 
ist dann ebenfalls ein Maximum = — und der Gestalt nach 
ein Quadrat, weil x = Va 2 — x 2 — — • 
p2 
y) Den Elevationswinkel bei dem schiefen Wurf zu be 
stimmen, bei welchem sich die grösste Wurfweite einstellt. 
Heisst c die Wurfgeschwindigkeit, g die Beschleunigung 
der Schwerkraft und x der Elevationswinkel, so ist —- sin ;7, . cos x 
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die Wurfweite; sie wird zu einem Maximum, wenn sin# cos# 
oder sin 2 # cos 2 # = sin 2 #(1—sin 2 #) seinen grössten Wert er 
langt; dies aber geschieht für sin 2 # = —, also für # = ~ 
oder bei einem Winkel von -45°. 
d) Die Höhenlage der Öffnung in der Seitenwand eines 
Gefässes zu bestimmen, bei welcher die Ausflussweite am 
grössten ist.