Full text: Vorlesungen über Differential- und Integral-Rechnung (1. Band)

Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 267 
Hg. 19. 
Bedeutet h die Tiefe der horizontalen Grundebene und x 
die Tiefe der Öffnung unter dem Flüssigkeitsspiegel, so ist die 
Ausflussweite 2]/a;(Ä—x); sie wird am grössten, wenn x(h—x) 
ein Maximum erreicht, und dieses tritt für x = \ ein. 
5) Es sind zwei Punkte A, B und eine Gerade XX' 
gegeben, Fig. 19; man soll jene 
Punkte P in XX' bestimmen, 
für welche der Winkel APB — 
als algebraische Grösse aufgefasst 
— einen extremen Wert erlangt. 
Bezeichnet 0 den Schnitt 
punkt der Geraden AB mit XX', 
so ist 
0 = APB = XPB — XPA; 
setzt man OA = a, OB = h, 0P = x, XOA = a, fällt AA' 
und BB' senkrecht zu XX', so findet sich 
XPA — Arctg 
XPB = Arctg 
a cos u —x 
b sin o: 
und daraus 
h COS ( 
„ A 1 • fe Sin Ci . . 
0 = Are tg T Are tg 
° 0 COS a — x ö 
a cos k — x 
= Are to- (a — i)sio.ee ■ x 
° ab — (a b) cos a ■ x -f- x 2 
Um die Rechnung zu vereinfachen, bezeichne man Zähler 
und Nenner des letzten Bruches mit u, v, so dass 0 = Ämter—,« 
' ' O /y 7 
dann ist 
u v — uv 
d 0 
dx 
uv — UV 
1 + 
W 2 -f- V 2 
und es lautet somit die für einen extremen Wert nothwendige 
Bedingung 
uv — uv =5= 0, 
d. h. 
(a — b) sin a {ah — (a -f- b) cos a ■ x -f- x*} 
— (a — b) sin a ■ x {— («-}-&) cos « -f- 2#} = 0,
	        
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