Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 267
Hg. 19.
Bedeutet h die Tiefe der horizontalen Grundebene und x
die Tiefe der Öffnung unter dem Flüssigkeitsspiegel, so ist die
Ausflussweite 2]/a;(Ä—x); sie wird am grössten, wenn x(h—x)
ein Maximum erreicht, und dieses tritt für x = \ ein.
5) Es sind zwei Punkte A, B und eine Gerade XX'
gegeben, Fig. 19; man soll jene
Punkte P in XX' bestimmen,
für welche der Winkel APB —
als algebraische Grösse aufgefasst
— einen extremen Wert erlangt.
Bezeichnet 0 den Schnitt
punkt der Geraden AB mit XX',
so ist
0 = APB = XPB — XPA;
setzt man OA = a, OB = h, 0P = x, XOA = a, fällt AA'
und BB' senkrecht zu XX', so findet sich
XPA — Arctg
XPB = Arctg
a cos u —x
b sin o:
und daraus
h COS (
„ A 1 • fe Sin Ci . .
0 = Are tg T Are tg
° 0 COS a — x ö
a cos k — x
= Are to- (a — i)sio.ee ■ x
° ab — (a b) cos a ■ x -f- x 2
Um die Rechnung zu vereinfachen, bezeichne man Zähler
und Nenner des letzten Bruches mit u, v, so dass 0 = Ämter—,«
' ' O /y 7
dann ist
u v — uv
d 0
dx
uv — UV
1 +
W 2 -f- V 2
und es lautet somit die für einen extremen Wert nothwendige
Bedingung
uv — uv =5= 0,
d. h.
(a — b) sin a {ah — (a -f- b) cos a ■ x -f- x*}
— (a — b) sin a ■ x {— («-}-&) cos « -f- 2#} = 0,