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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
2) Angenommen ferner, die Ableitung f\x) von fix) sei 
an einer Stelle x — a innerhalb (a, ß) nicht definirt und 
werde bei Annäherung an dieselbe unendlich gross in der 
Weise, dass lim f\x) = -(- oo und lim f\x) = — oo oder 
x—a—U x=a-{-0 
umgekehrt; dann ist f(a) ein Extrem und zwar ein Maximum, 
wenn f(x) sich in der erstgedachten Weise verhält, ein Mini 
mum, wenn es das umgekehrte Verhalten zeigt. 
Die Begründung hiefür ist dieselbe wie vorhin. 
Der Übergang vom Wachsen ins Abnehmen oder umge 
kehrt äussert sich bei geometrischer Darstellung jetzt so, dass 
die beiden bei x — a zusammenstossenden 
Theile der Curve eine zur y-Axe parallele 
Tangente haben, Fig. 25. 
Eine solche Erscheinung weist die durch 
aus stetige Function 
ffx) — b-f- fix — af 
auf, indem ihr Diiferentialquotient 
m=-r= 
3 yx — a 
an der Stelle x — a nicht definirt bei unbegrenzter Annähe 
rung an dieselbe unendlich wird, und zwar ist für lim x = a — 0 
sein Grenzwert — oo, für lim x = a -f- 0 aber -f- oo; daher 
ist f{a) = b ein Minimum (Fig. 25). 
118. Es bleibt noch zu zeigen, wie man die extremen 
Werte einer implied gegebenen Function ermittelt. 
Durch die Gleichung 
(5) F(x, y) = 0 
Fig. 25. 
sei y als stetige Function von x definirt. 
quotient ^ ergibt sich aus der Gleichung 
(6) 
dF 
dx dy dx 
Ihr Differential 
er muss — von den in 117 behandelten Ausnahmefällen ab 
gesehen, welche jedesmal eine besondere Untersuchung erfor 
dern — für einen extremen Wert verschwinden, und dies hat 
zur Folge, dass auch