Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 277 
infolge dessen i/ 2 = a]/4 ein Maximum oder ein Minimum 
der Function y, jenachdem a > 0 oder a < 0 ist. 
§ 2. Maxima und Minima der Functionen mehrerer 
unabhängigen Variabein. 
118. Wir gehen von einer Function zweier Yariabeln 
z = f(x, y) aus, welche auf dem Gebiete P eindeutig und 
stetig ist. Dieselbe hat an einer innerhalb P gegebenen Stelle 
x — a, y = b ein Maximum, beziehungsweise ein Minimum, 
wenn sich eine Umgebung von a/b feststellen lässt derart, 
dass der Functionswert f(a, b) grösser, respective kleiner ist 
als jeder andere aus dieser Umgebung entnommene Wert der 
Function. Es muss sich also eine positive Zahl iq feststellen 
lassen derart, dass für den Fall eines Maximums 
(1) f{a + h, b h) — f(a, b) < 0, 
und für den Fall eines Minimums 
(2) f{a -j- h, b -f- Je) — f(a, b) > 0 
für alle Wert verbin düngen h/h, für welche gleichzeitig 
|Ä| < 7] |%| <7], 
ausgenommen die Wertverbindung 0/0 von h/lc. 
Legt man die geometrische Darstellung des Gebietes P zu 
Grunde, Fig. 26,(46), so ist durch jede Wertverbindung h/Ti eine 
durch den Punkt a/b laufende Richtung 8 bestimmt, und verfolgt 
man die Function in dieser Richtung, 
so besagen die Relationen (1), (2), 
sie sei dabei an der Stelle a/b ein 
Maximum, beziehungsweise ein Mini 
mum; und dies muss der Definition 
gemäss für jede durch a/b gehende 
Richtung gelten. 
Man kommt hiernach zu dem 
Schlüsse, dass die Function f{x,y) an der Stelle a/b nur dann 
einen extremen Wert hat, wenn f(a, b) bei Verfolgung der 
Functionswerte in jeder durch a/b gehenden Richtung ein Ex 
trem darstellt.