Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Functionen. 
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(?) 
cp{x, y, z,u) = 0 
^(x, y, z, u) = 0 
df i 2 
dx dx 
i d'ip 
= 0 
df + W v + »U = o 
dy 
dz ' 
ibi + (l l* = o 
dz 
dz 
_ du ' du ' ^ 
du 
sei; in der That sind diese 6 (allgemein r n) Gleichungen 
zur Bestimmung der genannten 6 (beziehungsweise n -(- r) 
Grössen gerade ausreichend. 
Die vier letzten Gleichungen des Systems (7) wären aber 
die nothwendigen Bedingungen für die absoluten Extreme der 
Function 
f{x, y, z, m)+ Xcp{x, y, z, u) + yip(x, y, z, u), 
wenn man y, X als constante Zahlen voraussetzte. Man kann 
mithin den Satz aussprechen: Die Bedingungen dafür, dass die 
Function f unter Einhaltung der Gleichungen cp = 0, ip = 0 
zwischen ihren Argumenten einen extremen Wert erlange, sind 
die nämlichen wie die Bedingungen für absolut extreme Werte 
der mit den Constanten X, a gebildeten Function /* —(— Xcp -f- yifj. 
Wenn auch die Werte der Multiplicatoren X, y kein 
Interesse darbieten, so empfiehlt sich ihre Mitbestimmung doch 
in vielen Fällen um der Symmetrie der Rechnung willen. 
Ob an einer aus den Gleichungen (7) hervorgehenden 
Stelle xlyjzju die Function f wirklich einen grössten oder 
kleinsten Wert erreicht, ist in angewandten Fällen zumeist 
aus der Natur der Aufgabe zu erkennen; sollte ein Zweifel 
hierüber bestehen, so müsste das zweite Differential dff zur 
Entscheidung herangezogen werden, aber wieder in der Art, 
dass auch den Bedingungsgleichungen Rechnung getragen wird. 
Zu diesem Zwecke hätte man die betreffende Wertverbindung 
x/y¡z/u in die Gleichungen (3) einzuführen, sodann dz, du 
durch dx und dy auszudrücken und diese Werte nebst x/y/z/u 
in d 2 f einzutragen; fällt d^f verschieden von Null aus und ist