294 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
sein Vorzeichen unabhängig von dx, dy, so ist durch dieses 
Vorzeichen die Frage in bekannter Weise gelöst. 
124. Beispiele. 1) Den kürzesten Abstand eines gegebenen 
Punktes von einer gegebenen Ebene zu bestimmen. 
Der Punkt sei durch seine Coordinaten x 0 /y 0 /z 0 und die 
Ebene durch die Gleichung 
Ax + By -f- Gz -f- D = 0 
gegeben. Als diejenige Function, deren Minimum zu bestimmen 
ist, kann 
= (x — x Q y 4-{y— ?/o) 2 + 0 — ¿o) 2 
gewählt werden; die durch x, y, z zu erfüllende Bedingung 
lautet 
Ax -f- By -|- Cz -\- JD = 0', 
demnach kommt es auf das absolute Minimum der Function 
(x — x Q y + (y — Vo) 2 + (ß — 2 — 2 A (Ax -f- By Gz B) 
an; die Bedingungen für dieses lauten 
x — x 0 — HA = 0 
y — y 0 — HB = 0 
z — z 0 — HC = 0. 
Verbindet man sie mit der Bedingungsgleichung, so ergibt 
sich zur Bestimmung von H 
H 1 A 2 -{- B 2 -f- C 2 ) -f- -f- By 0 -f- Cz 0 + D — 0, 
T* + R 2 -f C 2 
Setzt man diesen Wert in die obigen drei Gleichungen ein, 
so ergibt sich die Stelle x/y/z, welcher das Minimum ent 
spricht, also der Fusspunkt des von x 0 /y 0 /z 0 auf die Ebene