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Erster Theil. Differential -Rechnung. 
ist,, welcher jedes Paar zusammengehöriger Werte von x und y 
zu genügen hat; man sagt dann, y sei analytisch als Function 
von x definirt oder es sei analytische Function von x. 
Das Gesetz der Zuordnung kann auch durch verbale Fest 
setzungen ganz willkürlicher Art gegeben sein; wenn man bei 
spielsweise jedem rationalen Werte von x den Wert 1 und 
jedem irrationalen den Wert 0 von y zuweist, so ist dadurch 
im Sinne obiger Definition y auch als Function von x be 
stimmt; indessen bieten derartige Functionen kaum ein ernst 
liches Interesse. 
In den naturwissenschaftlichen Anwendungen werden häufig 
zusammengehörige Werte von x und y durch Messung gewisser 
Grössen gewonnen; man spricht dann von empirischer Zu 
ordnung. 
Es gibt Fälle, wo jedem Werte der unabhängigen Yaria- 
beln x mehrere oder selbst unbegrenzt viele Werte von y zu 
geordnet sind; auch dann bezeichnet man y als Function von 
x, jedoch als eine mehrdeutige, beziehungsweise unendlich viel 
deutige. Lassen sich dann von einem Gesichtspunkte aus die 
Werte von y derart ordnen, dass an jeder Stelle in bestimmter 
Weise von einem ersten Werte y x , von einem zweiten y% u. s. w. 
gesprochen werden kann, so ist y x eine Function von x in 
dem ursprünglichen Sinne oder eine eindeutige Function, ebenso 
y 2 u. s. w.; die mehrdeutige Function erscheint hiernach in 
mehrere eindeutige Functionen aufgelöst, die man auch ihre 
Zweige nennt. Diese Bemerkung ist wichtig, weil sie die Be 
schränkung auf eindeutige Functionen gestattet. 
11. Wenn jeder Wertverbindung x/y, welche einem definir- 
ten Bereich der beiden reellen Yariabeln x, y angehört, eine 
bestimmte Zahl z zugeordnet ist, so heisst z eine Function der 
beiden Variabein x, y. Man bringt dies in einem Ansätze von 
der Gestalt z = Fix, y) zum Ausdruck. 
Diese Definition kann auf beliebig viele Variable aus 
gedehnt werden; man nennt u eine Function der Yariabeln 
x x , x%, . . . x n , wenn jeder Wertverbindung xjx 2 /. . .¡x n dieser 
Yariabeln innerhalb eines vorgeschriebenen Bereichs ein be 
stimmter Wert von u zugeordnet ist. Die allgemeine Bezeich 
nung hiefür ist u = 0(x x , x 2 ,. . . x n ).