Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 349 
schliesslich a > cp, die Asymptote liegt rechts von OU wie in 
der Figur; bei negativem c und sonst gleichen Umständen 
wäre sie links aufzutragen. 
Beispiele. 1) Bei der hyperboli 
schen Spirale (131, 2)) 
r = j (fl> 0) 
wird lim r = -(- oo für lim cp = 0; 
und da 
,. . ,. sin qp 
lim r sin cp — a lim —- = a 
<P=o 9» 
ist, so besitzt die Curve eine zur Polaraxe parallele Asymptote 
im Abstande a, Fig, 57. 
2) Die Curve, deren Bleichung lautet 
(a > 0) 
hat einen unendlich fernen Punkt in der durch cp = 1 
(57'29577° , . .) bestimmten Richtung; und da 
lim r sin (1 — cp) = — a limg? S ' M ^ --- - == — a 
ist, so hat sie eine links von dem Strahle 0 U im Abstande a 
gelegene Asymptote. Um die Anordnung der unendlichen 
Zweige gegen die Asymptote zu erkennen, setzen wir, unter d 
eine sehr kleine positive Grösse uns vorstellend, einmal 
cp = 1 — d, ein zweitesmal cp — 1 -f- d und finden im ersten Falle 
■ \ a (1 — 8) . * /1 »n. sin 8 
r sin (1 — cp) — _ s sin d = — a(l — o) : 
also | r sin (1 — cp) J < a, weil 1 — d < 1 und < 1 ist; der 
betreffende Zweig 0(7, Fig. 58, liegt rechts von der Asymp 
tote ALD; im zweiten Falle ist 
rsin(l — cp) — sin(— d) = — a(l -f- d) 
= - «(1 + «)(l - T+•••) ”-°(i+ Ä -T-)’ 
also |rsin(l — cp) | > a; der betreffende Zweig IDE liegt 
demnach links von AB.