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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Setzt man eine solche Function der Null gleich, so ist 
durch diese Gleichung y als algebraische Function von x defi- 
nirt (und auch umgekehrt x als algebraische Function von ?/; 
wir fassen den ersten Fall ins Auge). Die oben unterschiede 
nen drei Grade bezieht man auch auf die Gleichung, welche 
man als algebraische Gleichung bezeichnet. 
Ist diese in Bezug auf y vom ersten Grade, so ist y als 
rationale Function von x bestimmt; dabei können noch zwei 
Fälle unterschieden werden. Ist nämlich der Coefficient von y 
eine Constante, so hat die Auflösung nach y die Form 
y = a Q x n -j- a x x n ~ 1 +••• + «« 
mit ganzem positiven w; y heisst jetzt eine rationale ganze 
Function von x vom Grade n. Hat hingegen y einen von x 
abhängigen Coefficienten, so wird die Auflösung nach y in der 
Gestalt 
__ 1 ~b • • • 4~ a n 
J b a x m + h x x m ~ x h ha 
mit ganzem positiven n und m sich ergeben; dann nennt man 
y eine rationale gebrochene Function von x, und zwar eine echt 
gebrochene , wenn w< m- eine unecht gebrochene, wenn n^m. 
Die unecht gebrochene Function lässt sich nach den Regeln 
der Arithmetik in eine ganze und eine echt gebrochene zer 
legen, indem man die durch den Bruch angezeigte Division 
so weit vollzieht, als im Quotienten nicht negative Potenzen 
von x auftreten. 
Ist die in Rede stehende Gleichung in Bezug auf y vom 
ziveiten oder höheren Grade, so wird das durch sie definirte y 
als eine irrationale Function von x bezeichnet. Die Art der 
Irrationalität richtet sich nach der Höhe des Grades; wenn der 
Grad zwei, drei oder vier, so lässt sich y mit Hilfe von Wurzd 
ausziehungen durch x darstellen; übersteigt der Grad die Zahl 
vier, so ist (von besonderen Fällen abgesehen) die Darstellung 
durch Wurzelgrössen nicht möglich. 
Man kann hiernach die algebraischen Functionen einer 
Variabeln unterscheiden in rationale, ganze und gebrochene, 
und in irrationale, durch Wurzelgrössen darstellbare und solche, 
welche die Darstellung durch Wurzelgrössen nicht zulassen.