Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 351
Der Differentialquotient von d in Bezug auf x, d, i.
(2)
(T= y'—y 0 ',
verschwindet gleichfalls an der Stelle x — x Q ; die höheren
Differentialqnotienten von 8 stimmen mit den entsprechenden
Differentialquotienten von y überein, indem
8"
y ,
Angenommen, d"= y" besitze an der Stelle x = x 0 einen
von Null verschiedenen Wert y 0 "’ ist dieser positiv, so sind
die Kriterien für ein Minimum von 8 an der Stelle x — x 0
erfüllt; da aber d an dieser Stelle den Wert Null hat, so
lässt sich eine Umgebung von x 0 feststellen, innerhalb welcher
8, die Stelle x Q selbst ausgenommen, beständig positiv ist.
Vermöge der Definition von 8 heisst dies, es sei in dieser
Umgebung y > Y, die Punkte der Curve lägen also über der
Tangente, d. h. auf derselben Seite der Tangente, auf welcher
eine aus M 0 gezogene Parallele M Q (Y) zur positiven Ordi-
natenaxe gelegen ist. Man sagt dann, die Curve sei in der
Umgebung des Punktes M 0 oder kurz im Punkte M 0 concav
nach oben (convex nach unten).
Ist y 0 " negativ, so sind bezüglich 8 an der ¿Stelle x — x 0
die Kriterien des Maximums erfüllt; und weil 8 an dieser
Stelle selbst Null ist, so ist es in einer angebbaren Umgebung
negativ, infolge dessen y < U; die Punkte der Curve liegen
dann in dieser Umgebung unter der Tangente oder auf ent
gegengesetzter Seite in Bezug auf Jf 0 (U); man sagt, die Curve
sei in der Umgebung von M 0 oder in M 0 selbst concav nach
unten (convex nach oben).
Nun aber sei y 0 "= 0, dagegen y 0 '" von Null verschieden.
Dann hat 8 an der Stelle x 0 keinen extremen Wert (114), und
da es an dieser Stelle verschwindet, so hat es innerhalb einer
gewissen Umgebung zu beiden Seiten von M 0 entgegengesetzte
Zeichen. Demnach ist auf der einen Seite y>Y, auf der
andern y < Y, die Curve also einerseits über, andererseits
unter der Tangente. Einen solchen Punkt, bei dessen Über
schreitung die Richtung der Concavität sich ändert, nennt man
einen Wende- oder Inflexionspunkt, die zugehörige Tangente
