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Erster Th eil. Differential-Rechnung. 
ein Wendepunkt. Zur Bestimmung der Wendepunkte einer 
gegebenen Curve hat man also vor allem die Gleichung 
(6) 
r 2 -f- 2r 2 — rr"= 0 
in Bezug auf cp aufzulösen und dann das Vorzeichen der linken 
Seite in der Umgebung der Wurzeln zu prüfen. 
Beispiele. 1) Die hyperbolische Spirale 
a 
ist; die Curve ist in ihrem ganzen Verlaufe concav gegen 
den Pol. 
2) Bei der in 139, 2) betrachteten Curve 
aqj 
ist 
Das Vorzeichen dieses Ausdrucks hängt lediglich vom Zähler 
ab, und dieser ist zunächst positiv für alle negativen Werte 
von gp, daher der Curventheil OF, Fig. 58, gegen den Pol 
beständig concav. Für positive Werte wechselt der Zähler 
sein Vorzeichen an der Stelle <p — 1 und ferner an der ein 
zigen reellen Stelle 
«Po = 1-695 • • • (97911), 
an welcher cp 3 — cp 2 — 2 verschwindet; und zwar ist er in 
dem Intervalle (0, 1 — 0) positiv, der zugehörige Curventheil 
OC gegen den Pol concav; in dem Intervalle (1 —J— 0, cp 0 ) 
negativ, der zugehörige Curventheil JDJ gegen den Pol convex; 
von «p 0 an bleibt der Zähler positiv, der Curventheil JE gegen 
den Pol concav. J selbst ist also ein Wendepunkt der Curve. 
3) Es ist festzustellen, unter welcher Voraussetzung die 
parabolische Spirale (vgl. 129, 1)) 
r = acp n 
Wendepunkte besitzt. 
In diesem Falle ist 
r 2 -f- 2r 2 — rr” — a 2 cp 2n ~~ 2 (<p 2 -f- n 2 w); 
,2„2w — 2