364 
Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Indem man diese Schlussweise wiederholt anwendet, kommt 
man schliesslich zu einer jedenfalls in dem Bereiche der Werte 
x 0 , x X} . . . x n gelegenen Stelle x^\ an welcher auch noch 
(10) fHxt') = ^(xf) 
ist. 
Wenn aber die Punkte M x , M 2 , . . . M n in beliebiger 
Weise sämmtlich gegen den Punkt M 0 als Grenze sich hin 
bewegen, so convergiren x 2 , . . . x n und alle die spccessiven 
Zwischen werte x x ] , x^, . . .; x^\ xf\ . . .; ... x^ gegen den 
Grenzwert x 0 , an der Grenze wird also laut (7), (8), (9), (10) 
f («ü) = fOo) = <P\ X o); fW = <P"( X o) > * • * 
f {n K x o) = 9 (w) (« o) 5 
hierdurch sind aber die Bedingungen für eine Berührung n- ter 
Ordnung erfüllt. 
Das Ergebnis kann in dem folgenden Satze ausgesprochen 
werden: Wenn zwei Curven C und C in einem Funkte M 0 
n-f-1 vereinigt liegende Funkte mit einander gemein haben, so 
weisen sie dort eine Berührung n-ter Ordnung auf. 
Die Ausdrucks weisen: „n -f- 1-punktige Berührung“ und 
„Berührung n-ter Ordnung“ haben also denselben Inhalt. 
144. Yon den beiden Curven sei die eine, C, vollständig 
gegeben, die Gleichung der anderen, C', enthalte aber n-f-1 
unbestimmte Constanten oder Parameter, welche auf die Lage der 
Curve in der Ebene und ihre specielle Form von Einfluss sind. 
Man kann der Curve C höchstens n -f- 1 von einander 
unabhängige Bedingungen auferlegen; bestehen diese darin, 
dass für eine Abscisse x Q ihre Ordinate und deren Ableitungen 
bis zur w-ten Ordnung einschliesslich mit den entsprechenden 
auf die Curve C bezüglichen Grössen übereinstimmen sollen, so 
hat die Curve C mit der Curve C in dem zur Abscisse x 0 ge 
hörigen Punkte eine Berührung der n-ten, zugleich der höchst 
möglichen Ordnung, welcher sie nach der Zahl ihrer Para 
meter im Allgemeinen fähig ist. Man sagt, die Curve C' 
oscidire oder stehe in Osculation mit der Curve C im Punkte M 0 . 
Nach den Ausführungen von 143 ist die osculirende Curve 
C' im Punkte M 0 von C die Grenze, welcher sich eine Curve