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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Osculirende Gerade in einem Punkte einer Curve ist dem 
nach die Tangente. 
Superosculation findet statt, wenn auch höhere Differential 
quotienten aus (C) und (C') übereinstimmen; nun folgt aus 
(CT) rf— 0, daher muss, soll Superosculation bestehen, der 
Punkt M auf (C) so gewählt werden, dass y"= 0 ist. Diese 
Bedingung erfüllt beispielsweise ein Wendepunkt; darum ist 
eine Wendetangente superosculirend, und zwar in einer Berüh 
rung zweiter Ordnung, sofern nicht auch noch höhere Diffe 
rentialquotienten von y verschwinden. 
146. Der Osculationskreis. Unter den eine Curve in einem 
Punkte osculirenden Linien ist der Kreis von grösster Wichtig 
keit; da nämlich osculirende Linien in einer Zeichnung selbst 
auf eine ziemlich beträchtliche Umgebung des Berührungs 
punktes nur sehr wenig von einander abweichen, so kann man 
sich von der Gestaltung einer Curve in der Umgebung einer 
Stelle durch Construction des osculirenden Kreises am bequem 
sten eine Vorstellung verschaffen. 
An die Curve 
(C) 
y = f(x) 
ist im Punkte M mit den Coordinaten x, y der Osculationskreis 
zu legen. Schreibt man seine Gleichung in der Form 
(| — a) 2 -(- (rj — ß) 2 = r 2 
und differentiirt dieselbe zweimal nach einander in Bezug auf 
è — a + (v — ß)v = 0 
1 + V 2 + <V — ß)v" = °; 
(11) 
so hat man nur in den drei letzten Gleichungen £ = ,v zu 
setzen und an die Stelle von r{, rj" die aus (C) gezogenen 
Werte y, y, y' treten zu lassen, um die zur Bestimmung der 
Parameter des Osculationskreises führenden Gleichungen 
(x — a) 2 -f- (y — ß) 2 — r 2 
x — a -f- (y — ß)y = 0 
i + y* + (y — ß)y"= 0 
zu erhalten. Aus denselben ergibt sich successive