Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 367 
(12) 
i + y'* 
y" 
0 + y' 2 )y 
y" 
r = (JL±j£) 4 . 
y" 
ß = y + 
a — x — 
Der Osculationskreis, der durch die Parameter (12) be 
stimmt ist, hat mit der Curve im Punkte M im Allgemeinen 
eine Berührung zweiter Ordnung und eine solche ist mit 
einem Schneiden verbunden; Curve und Osculationskreis haben 
also zu beiden Seiten des Berührungspunktes entgegengesetzte 
Lage gegeneinander. 
Weil für den Osculationskreis und die Curve in M die 
zweiten Differentialquotienten der Ordinate einander gleich 
sind, also auch im Yorzeichen übereinstimmen, so wendet hier 
der Osculationskreis seine Concavität nach derselben Seite wie 
die Curve. 
Wenn zwei Curven C und C' in einem Punkte M sich 
nach der zweiten oder einer höheren Ordnung berühren, so 
haben sie hier einen gemeinschaftlichen Osculationskreis, weil 
sie in den Stücken, welche die Parameter des Osculationskreises 
bedingen, übereinstimmen. 
Ist für die Curve C im Punkte M y'= 0, so werden die 
Parameter des Osculationskreises, nämlich die Coordinaten a, ß 
seines Mittelpunktes und der Radius r unendlich; der Kreis 
degenerirt in die Tangente der Curve in Jf; dies ist beispiels 
weise auch dann der Fall, wenn der Punkt M Inflexionspunkt 
ist; in der That wurde auch gezeigt (145), dass die Inflexions 
tangente eine Berührung zweiter Ordnung aufweist. 
Beispiel. Es sei 
y = ax 2 + 2hx -f- c 
die gegebene Curve — eine Parabel, deren Axe der Ordinaten- 
axe parallel ist —, und für den Punkt, dessen Abscisse x ist, 
sei der Osculationskreis zu bestimmen. 
Setzt man die Werte für y 
y = 2 ax 2 h 
y"= 2a