Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 371 
während die Formel (6) zu gebrauchen sein wird, so oft die 
Curve in der Form (1) gegeben ist, kommt (7) zur Anwen 
dung, wenn x, y als Functionen eines Parameters u dar 
gestellt sind. 
Die geometrische Bedeutung des Bogendifferentials (6) 
geht aus der Gleichung (3) unmittelbar hervor; es drückt jenen 
Abschnitt der Tangente im Punkte M aus, welcher sich auf der 
Äbscissenaxe in dieselbe Strecke PP' = dx projicirt, wie der 
Bogen MM' selbst. 
Für diesen Bogen aber folgt aus (4), dass 
As < Yl + f'(xf dx + r -- X + ® dX) dx 2 - 
verbindet man diese Beziehung mit (6) durch Subtraction, so 
ergibt sich 
JS _ ds< räL±iM dx *. 
dass also, dx als unendlich kleine Grösse erster Ordnung an 
gesehen, As und ds selbst Grössen erster Ordnung bedeuten, 
deren Unterschied jedoch eine Grösse mindestens der zweiten 
Ordnung ist. Daraus ist der Schluss zu ziehen, dass das Ver 
hältnis aus dem Bogen As und dem Bogendifferential ds den 
Grenzwert 1 besitzt. 
Denselben Grenzwert hat auch der Quotient aus dem 
Bogen As und der zugehörigen Sehne MM'= c- denn aus dem 
oben angeführten Werte für MM' und der Relation (4) folgt 
-( ^ A* ^ l/ i+fOO* I ± f\ x + frfc) . 
c y 1 + f'(x + Qhf ~ r 2 y 1 -f f\x -f 07O 2 ’ ’ 
der Ausdruck rechts convergirt aber für lim h — 0 gegen die 
Grenze 1, daher ist bei demselben Grenzübergange auch 
(8) 
dies führt zu dem weiteren Schlüsse, dass auch der Unter 
schied zwischen dem Bogen und der Sehne eine Grösse min 
destens der zweiten Ordnung in Bezug auf h oder dx ist. 
149. Von dieser letzten Thatsache wollen wir Gebrauch 
machen, um für eine auf ein Polarcoordinatensystem bezogene