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Erster Theil. Differential -Rechnung. 
t um die Grössen zIs = arc, MM' und Alx=T'QT, und es 
bedeutet 
die Geschwindigkeit der Änderung des Bogens an der Stelle M, 
ebenso 
die Geschwindigkeit der Änderung des Winkels oder der Rich 
tung der Tangente, beide bei gleichförmiger Änderung von x 
mit der Geschwindigkeit 1 (22, 1)). 
Je rascher sich nun t im Verhältnis zu s ändert, umso 
stärker, sagt man, sei die Curye an der Stelle M gekrümmt, 
und man definirt geradezu das Verhältnis der Geschwindig 
keiten in der Änderung des Winkels x zu jener des Bogens s 
als Maass der Krümmung oder kurzweg als Krümmung der 
Curve im Punkte M. Bezeichnet man die Krümmung mit k, 
so ist hiernach 
Ax dx 
dx 
(2) 
As ds ’ 
i=0^ dx 
wofür auch kürzer geschrieben werden kann 
(3) ¿=lim^ = ^- 
Man nennt das Differential des Winkels x den Gontingenz- 
winkel des zu dx gehörigen Bogen elements, weil dx bis auf 
unendlich kleine Grössen höherer Ordnung als dx den Winkel 
bestimmt, welchen die Tangenten in den Endpunkten dieses 
Bogenelements miteinander einschliessen. Damit ist die von 
dem Coordinatensystem unabhängige Definition gewonnen, die 
Krümmung einer Curve in einem Punkte sei der Quotient aus 
dem Ganting enzivinkel durch das zugehörige Bogendifferential an der 
betreffenden Stelle der Curve oder der Grenzwert, dem der Quotient 
aus dem Winkel A x der Tangenten in M und M' durch den Bogen 
MM' selbst bei beständiger Annäherung von M' an M zustrebt. 
Aus der Gleichung (3) folgt 
ds = -r-dx: 
k ’ 
(4)