Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 377 
Die Vergleichung der Formeln (7) und (9) mit jenen 146, (12) 
führt zu dem Satze: Der Krümmungskreis einer Curve in einem 
ihrer Funkte fällt mit dem zugehörigen Osculationskreise zu 
sammen. 
Die Formeln (6), (7) und (9) sind unter der Annahme 
abgeleitet worden, dass die Abscisse x als unabhängige Variable 
gelte. Um die Formeln für eine beliebige unabhängige Variable 
zu erhalten, braucht man nur an die Formel (3) sich zu halten 
und y' durch den Quotienten ~ der Differentiale zu ersetzen. 
Dann erhält man aus 
r = Ai-ctg d £ 
durch Differentiation 
dt = 
dx d 2 y — dy d 2 x 
dx 2 
i + iil 
^ dx 2 
dx d 2 y — dy d 2 x 
dx 2 -f- dy 2 ’ 
ferner 
ist laut 148, (7) 
ds 
— ydx 
2 + dy* 
daher 
nach (3) und (5) 
(e*) 
k = 
dx d 2 y - 
— dy d 2 x 
{dx 2 -j- dy 2 )- 
und 
(7*) 
9 = 
{dx 2 -j- dy 2 y$ 
dx d 2 y — dy d 2 x 
Aus 
erhält man weiter 
sinv = 
t gl , = — 
dx 
dy 
dx 
Ydx 2 -\- dy 2 ’ 
und hiermit auf Grund von (8) 
cosv 
dy 
}/dx 2 -{-dy 2 
(9*) 
Vo = V + 
{dx 2 -j- dy 2 ) dy 
dx d 2 y — dy d 2 x 
{dx 2 -(- dy 2 ) dx 
dx d 2 y — dy d 2 x 
In allen diesen Formeln hat die Quadratwurzel das nämliche 
Vorzeichen wie dx zu bekommen, damit sinv positiv sei; das 
Differential der unabhängigen Variabein wird dabei immer als 
positiv angesehen.