378 
Erster Theil. Differential-Rechnung. 
152. Der Krümmungsmittelpunkt kann geometrisch noch 
in anderer Weise charakterisirt werden. Es ist nämlich der 
Krümmungsmittelpunkt m dem Punkte M die Grenze, gegen 
welche sich der Schnittpunkt der Normale in M mit der Nor 
male in M' hinbewegt, wenn M' auf der Curve unaufhörlich 
dem Punkte M sich nähert. 
Wir wollen dies gleich unter der allgemeinen Voraus 
setzung nach weisen, dass x, y als Functionen eines Parameters 
u gegeben sind. Dann ist die linke Seite der Gleichung der 
Normale im Punkte M (128 ; (28)) 
(10) (| — x)dx -f- (y — y)dy = 0 
nach Unterdrückung des Factors du eine Function von y, u 
und werde als solche durch V(£,y,u) bezeichnet, so dass 
an Stelle you (10) geschrieben werden kann 
(11) 7(1, 1J, «) = 0; 
die Normale in M', welchem Punkte der Parameter u -f- Nu 
zukommen möge, ist durch 
(12) F(|, y, u -f Nu) = 0 
dargestellt. An Stelle der Gleichung (12) kann auch 
F(g, 7], u -f- Ju) - V (|, ri, u) _ Q 
gesetzt werden. Aus (11) und (13) wäre der Schnittpunkt 
der beiden Normalen zu bestimmen; da es sich aber um seine 
Grenzlage handelt, so lasse man in (13) Nu gegen Null con- 
vergiren; dadurch geht diese Gleichung über in 
oder aber in 
(13*) 
ar(g, rj, u) _ n 
du > 
d u V(|, y, u) = 0 
und bestimmt mit (11) zusammen den Grenzpunkt. Seine Coor- 
dinaten ergeben sich also aus 
(14) 
f (| — x)dx -f- (y — y)dy = 0 
|(| — x)d 2 x -f- (y — y)d 2 y = dx 2 -f- dy 2 
durch Auflösung in Bezug auf | und y- diese liefert aber