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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Damit sind die einfachsten besonderen Erscheinungen an 
gedeutet, welche bei algebraischen Curven auftreten können. 
Man gibt den Punkten, welche hier als Knotenpunkt (oder 
Selbstberührungspunkt), Spitze und isolirter Punkt bezeichnet 
worden«sind, den gemeinsamen Namen singuläre Punkte, welchen 
Namen alle Punkte erhalten, in welchen eine Curve ein anderes 
Verhalten zeigt als das bei dem gewöhnlichen Punkte be 
schriebene. 
158. Um die Natur eines Punktes x 0 fy 0 , welcher dem 
durch (1) dargestellten Gebilde angehört, festzustellen, schlagen 
wir folgenden Weg ein. 
Durch Translation des Coordinatensystems werde die Glei 
chung (1) derart transformirt, dass der Punkt x 0 /y Q Ursprung 
wird; die diesbezüglichen Transformationsgleichungen lauten 
x = + I V = V o + ^ 
und die transformirte Gleichung ist (99, (41)) 
f( x o + I 7 yo + v) 
= f{ x o’ !/o) +A. £+/kv+ y (A, 2 £ 2 ~h ly fy 0 2 t'H— = 0, 
oder aber, weil f(x 0 , y 0 ) — 0 ist, 
(4) f*X + fyoV + y (/*V^ 2 + + fy'o'rf) + • • • = 0. 
Die Abscissen der Schnittpunkte, welche die durch den 
neuen Ursprung, also durch den betrachteten Punkt M 0 der 
Curve gelegte Gerade 
(5) n = n 
mit der Curve bestimmt, ergeben sich aus der Gleichung 
(6) (/4 + tfvo) I + Y (/4 1 + 2 /»Uo ^ + fy<? I 2 + • • • = 0. 
Sind fx o , fy o nicht gleichzeitig Null, so hat diese Glei 
chung | = 0 zur einfachen Wurzel, die Gerade (5) also mit 
der Curve in M 0 im Allgemeinen nur einen Punkt gemein, 
und man bezeichnet daher M 0 als einfachen Punkt der Curve. 
Nur wenn der Richtungscoefficient t so bestimmt wird, dass 
(?) /4 +/4* = 0 
ist, hat die Gerade (5) in M 0 mit der Curve mindestens zwei 
vereinigt liegende Punkte gemein und ist Tangente der Curve