Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 397 
c) Ist endlich die Discriminante 
f*a fy 0 * fx a y a ^ 0 ; 
so hat (11) imaginäre Wurzeln und es gehen durch M 0 zwei 
imaginäre Curvenzweige, M 0 ist also ein isolirter Punkt. 
An dieser Stelle genüge der Hinweis auf die Analogie 
zwischen den Kriterien eines Doppelpunktes der Curve f(x, y) = 0 
und denjenigen für einen extremen Wert der Function fix, y) 
(119); später wird diese Analogie geometrische Deutung erfahren. 
Ersetzt man in (11) t durch den Wert aus (5), so ergibt 
sich für das System der beiden Tangenten im Punkte M 0 die 
Gleichung 
(12) + 
Würden im Punkte M 0 auch die drei Differentialquotienten 
zweiter Ordnung, nicht aber auch alle vier Differentialquotienten 
dritter Ordnung verschwinden, so ergäbe eine der obigen ana 
loge Erwägung, dass der Punkt M 0 ein dreifacher Punkt der 
Curve sei und dass das System der Tangenten in diesem Punkte 
die Gleichung 
(13) fxf £ 3 + + /k* 7 ? 3 = 0 
habe. Bezüglich dieser Tangenten gibt die Discussion der 
cubischen Gleichung (13) oder der Gleichung 
fxf + 3/»o*J, o # + 3 fxfy*t 2 + fyjP = 0 
Aufschluss, welche die Richtungscoefficienten bestimmt; der 
grösseren Zahl zu unterscheidender Fälle entspricht eine grössere 
Mannigfaltigkeit von Formen dreifacher Punkte. 
Aus der geführten Untersuchung sind folgende Ergebnisse 
zusammenzufassen: 
Die singulären Punkte einer Curve fix, y) — 0 befriedigen 
ausser der Gleichung der Curve selbst auch noch die Gleichungen 
ff. = 0 und fy = 0. 
Geht eine algebraische Curve durch den Ursprung, so belehrt 
der Grad der Gliedergruppe niedrigster Dimension darüber, ein 
wievielfacher Punkt der Curve der Ursprung ist; diese Glieder 
gruppe gleich Null gesetzt bestimmt das System der 'Tangenten 
im Ursprung.