400 
Erster Theil. Differential - Rechnung. 
y = (Fig. 81; man nennt eine Spitze zweiter Art auch. 
Schnabelspitze). 
5) Die Fnsspnnktcnrye (127) der Ellipse a 2 y 2 -\-b 2 x 2 = a 2 h 2 
in Bezug auf den Mittelpunkt als Pol ist eine Curve vierter 
Ordnung mit der Gleichung 
(x 2 -f- y 2 ) 2 = a 2 x 2 -f- b 2 y 2 . 
Der Ursprung ist ein Doppelpunkt der Curve und die Tan 
genten in demselben sind durch 
a 2 x 2 -f- b 2 y 2 = 0 
bestimmt; da die linke Seite eine Zerlegung in reelle lineare 
Factoren nicht zulässt ; so ist der Doppelpunkt ein isolirter Punkt. 
Die Entstehung dieses Punktes ist, so lange man blos 
die reellen Tangenten der Ellipse im Auge behält, geometrisch 
nicht zu erklären; nimmt man aber die imaginären Asymptoten 
der Ellipse als Tangenten in den unendlich fernen imaginären 
Punkten hinzu, so klärt sich das Auftreten des isolirten Punktes 
auf*). 
6) Die Curve fünfter Ordnung 
2i/ 5 — 5xy 2 -j- x 5 = 0 
hat, da das Glied niedrigster Dimension vom dritten Grade ist, 
im Ursprung einen dreifachen Punkt; die Tangenten in dem 
selben sind durch 
xy 2 — 0 
*) Wenn man die in 136 zur Bestimmung der Asymptoten einer 
algebraischen Curve vorgeschriebene Rechnung durchführt, so erhält 
man für die Ellipse die beiden imaginären Asymptoten 
, h . 
y — 4 * ix 
und für die durch den Ursprung zu ihnen gelegten, ebenfalls imaginären 
Lothe die correspondirenden Gleichungen 
, a . 
V = ± y *»; 
in der That ist nun 
x = 0, y = 0 
der gemeinsame Fusspunkt dieser Lothe und daher ein Punkt der Curve.