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Erster Abschnitt. Variable und Functionen. 23 
schreibt man lim x — — oo. Der Ansatz lim x — oo soll 
gelten, wenn x während des Verlaufs seiner Änderung unauf 
hörlich das Vorzeichen wechseln kann. 
15. Es sei y = f{x) eine Function, welche für einen Be 
reich der stetigen Variabein x definirt ist, ausgenommen den 
Wert x = a. Lässt man x gegen den Grenzwert a conver- 
giren, so können die zugeordneten Werte y dabei derart ver 
laufen, dass schliesslich der Unterschied von y gegen eine be 
stimmte Zahl b dem absoluten Werte nach kleiner bleibt als 
eine beliebig kleine festgesetzte positive Zahl s. Man sagt 
dann, y convergiré bei dem betreffenden Grenzübergange von 
x gegen den Grenzwert b. 
Um die Erscheinungen, die hierbei auftreten können, 
näher ins Auge zu fassen, wollen wir den Grenzübergang des 
x genauer präcisiren. 
Nähert sich x der Grenze a wachsend, so convergiré y 
gegen den Grenzwert d; man schreibt dies in der Form 
lim y = b oder kürzer lim y = h 
lim x—a—0 x—a—0 
an; nähert sich x der Grenze a abnehmend, so convergiré y 
gegen den Grenzwert V, in Zeichen: 
lim y — V. 
x-=a-\- 0 
Wenn nun b^b', so sagt man, y besitze an der Stelle a 
zwei verschiedene Grenzwerte, einen links und einen andern 
rechts. Ist dagegen b — b', so spricht man von einem Grenz 
wert an der Stelle a schlechtweg, schreibt dies wie folgt an: 
lim y = b 
x=a 
und hat hiermit folgenden Sinn zu verbinden: Zu einem be 
liebig klein vorgeschriebenen positiven s gibt es immer ein 
ebenfalls positives ó derart, dass j y — b \ < s bleibt, sobald x 
in seiner Annäherung an die Grenze a soweit vorgeschritten 
ist, dass x fortan in dem Intervall (a — d, a -j- d), also 
I x — a | < d verbleibt. 
V 
Wenn der absolute Betrag von y, während w der Grenze 
x sich nähert, schliesslich grösser bleibt als eine beliebig gross