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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
nach u auf, so erhält man die Parameter jener Curven des 
Systems, welche durch den Punkt oc 0 /y 0 gehen; ist die Zahl 
der reellen unter diesen Curven g (<[jo) ; so sagt man, die 
Ebene werde durch das Curyensystem im Punkte x 0 /y 0 g-fach 
bedeckt. Ist die Bedeckung in allen Punkten der Ebene 
gleich vielfältig, so bedeckt das Curyensystem die Ebene gleich 
förmig. 
Wenn dagegen die Multiplicität der Bedeckung wechselt, 
so theilt sich die Ebene in Regionen, die durch Curven von 
einander geschieden werden; und diese Curven sind es, welche 
uns nun beschäftigen werden. 
Bei dem Übergange von einer Region zur benachbarten 
ändert sich die Zahl der reellen Wurzeln u, und da bei einer 
algebraischen Gleichung mit reellen Coefiicienten immer gleich 
zeitig zwei Wurzeln aus dem reellen ins complexe Gebiet oder 
umgekehrt übergehen und im Augenblicke des Überganges 
reell und gleich werden, so unterscheiden sich die Multipli- 
citätsfactoren der Bedeckung zweier benachbarten Regionen 
um eine gerade Zahl und werden an der Begrenzung der Re 
gionen zwei Wurzeln der Gleichung (1) einander gleich. 
Daraus geht schon hervor, dass man, um die Grenzlinien 
der Gebiete zu erhalten, nur die Bedingung aufzustellen hat, 
unter welcher die Gleichung (1) nach u aufgelöst mehrfache 
Wurzeln ergibt; diese Bedingung erhält man aber? wenn man 
zwischen den beiden Gleichungen 
f{x, y, u) = 0 
fù O, y, m) = 0 
u eliminirt; das Resultat dieser Elimination wird Discrimi 
nante der Gleichung (1) in Bezug auf u genannt und soll 
symbolisch durch 
Dscr M f(x, y, u) = 0 
(3) 
dargestellt werden. Man kann sich dasselbe auch durch die 
erste der beiden Gleichungen (2) vertreten denken, wenn darin 
für u jene Function von x } y gesetzt wird, welche die Auf 
lösung der zweiten Gleichung liefert. 
Im Sinne dieser Ableitung ist die Gleichung (3) der Ort 
solcher Punkte der Ebene, für welche die Gleichung (1) eine