Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 405 
mehrfache Wurzel für u ergibt. Solche Punkte sind aber 
auch die mehrfachen Punkte der Curven des Systems; denn 
da durch einen solchen Punkt eine und dieselbe Curve des 
Systems mehreremale hindurchgeht, so gibt für ihn die Glei 
chung (1) nothwendig mehrere gleiche Lösungen in Bezug 
auf u. 
Wenn also die Curven des Systems mehrfache Funkte be 
sitzen, so ist der geometrische Ort dieser Punkte mit in dem 
geometrischen Gebilde enthalten, welches die Gleichung (3) dar 
stellt, unter Umständen bedeutet die Gleichung (3) diesen Ort allein. 
Um die volle Bedeutung dieser Gleichung, damit zugleich 
ihren Inhalt für den Fall kennen zu lernen, wenn die Curven 
des Systems singuläre Punkte nicht aufweisen, gehen wir auf 
den geometrischen Sinn der Gleichungen (2) näher ein. 
Bei feststehendem u stellt die erste eine specielle Curve 
des Systems vor. Die linke Seite der zweiten Gleichung ist 
der Grenzwert des Quotienten 
fix, y, u + ft) — fix, y, u) 
h 
für lim/& = 0; nun bestimmen die beiden Gleichungen 
i fi x , V, «0 = 0 
\f{x, y, u + h) = 0 
zusammen die Schnittpunkte der Curve u mit jener u -f- h, und 
(5) f{x, y, u-\-h) — f{x, y, m) = 0 
ist die Gleichung einer dritten Curve, welche auch durch diese 
Schnittpunkte geht und daher, soweit es sich um diese handelt, 
statt der zweiten Gleichung in (4) genommen werden kann; 
vermöge 37 aber kann (5) weiter ersetzt werden durch 
hfuix, y, u -f- Qh) — 0 
oder schliesslich durch 
(5*) fuix, y,u~G Qh) = 0, 
wobei 0 einen positiven echten Bruch bedeutet. Demnach sind 
die Schnittpunkte der beiden Curven (4) des Systems durch 
das Gleichungspaar 
fix, y,u) = 0 
fuix, y) u —(— 0h) = 0