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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
ist. Weil in diesem Falle d von der vierten Ordnung ist, ver 
hält sich eine solche Osculationsebene zur nächsten Umgebung 
der Curve wie eine gewöhnliche Tangentialebene und wird 
stationäre Osculationsebene genannt. Die Gleichung (7) kann 
dazu dienen, die Parameterwerte der Punkte mit stationärer 
Osculationsebene zu bestimmen. 
Für eine ebene Curve ist die Gleichung (7) identisch 
erfüllt; denn gilt für jeden Punkt der Curve 
Äx + By+Ce + D = 0, 
so ist auch für jeden 
du 
du 
A d * x I 7? cl *y I n 
A 7 - 2 + 15 du* ~‘ ü 
dir 
du 2 
d 3 x 
du 3 
+ *% + <>*• 
du 3 
und die Gleichung (7) drückt eine nothwendige Folge dieser 
drei Gleichungen aus. 
Es mag bemerkt werden, dass man in den Gleichungen 
(5), (6), (7) die Diiferentialquotienten auch durch die betref 
fenden Differentiale ersetzen, statt u auch s als Parameter ver 
wenden kann. 
Neben die analytische Definition der Osculationsebene als 
einer Ebene, welche mit der Curve eine Berührung mindestens 
zweiter Ordnung hat, lassen sich auch geometrische Definitio 
nen stellen. Zunächst die folgende: Die Osculationsebene im 
Funkte M ist die Grenze einer Tangentialebene, welche ausser 
M noch einen zweiten gegen M sich bewegenden Funkt M' mit 
der Curve gemein hat 
Drückt man nämlich die Forderung aus, dass der Punkt 
(2) der Ebene (1) angehöre, deren Cosinusse der Beziehung 
(3) entsprechen, so kommt man zunächst zu der Gleichung 
(ä5 CO8a + 3v« CO86 + s? eos<! )T + - E=0 ; 
fr2 
dividirt man durch — und lässt dann h gegen Null conver- 
giren, so ergibt sich wegen lim -p- — 0 für die Grenzlage der 
Ebene die charakteristische Gleichung