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Erster Abschnitt. Variable und Functionen. 27
Zu bestimmteren Vorstellungen hierüber führt die Be
trachtung des Quotienten ; derselbe kann bei einem Grenz
üb ergange x = a, bei welchem lim y — 0 und lim y x — 0, sich
einer bestimmten von Null verschiedenen Grenze h oder der
Grenze 0 oder der Grenze oo nahem oder ein unbestimmtes
Verhalten zeigen.
In dem ersten der aufgezählten Fälle, wo also lim — = h
und J 1 > 0 ist ^ sagt man, y und y x seien unendlich kleine
Grössen gleicher Ordnung.
In dem zweiten Falle, wo lim—= 0, ist — selbst ein
' Vi ’ Vi
Unendlichkleines, lässt sich also y als Product von zwei un
endlich kleinen Grössen darstellen, deren eine y i ist; y conver-
girt daher zufolge einer oben gemachten Bemerkung rascher
gegen Null als y l7 und man drückt dies dadurch aus, dass
man y als ein ünendlichkleines höherer Ordnung im Vergleich
zu y 1 bezeichnet.
In dem dritten Falle, wo lim—— oo, ist lim—= 0,
Vi ’ V ’
also y 1 von höherer Ordnung in Bezug auf y, dieses daher
von niederer Ordnung in Bezug auf y 1 .
In dem letzten Falle ist eine Beurtheilung der Ordnung
ausgeschlossen.
Wenn y, y x unendlich kleine Grössen ungleicher Ordnung
sind, so lässt sich in vielen Fällen eine positive Zahl n derart
bestimmen, dass der Quotient — gegen eine bestimmte von
Null verschiedene Grenze h convergirt, so dass y und y x n als
unendlich kleine Grössen gleicher Ordnung zu bezeichnen
wären; dann präcisirt man die Ordnung näher und bezeichnet
y als von der Ordnung n in Bezug auf y i , oder schlechtweg
von der Ordnung n, wenn man übereingekommen ist, y x als
ein Unendlichkleines der ersten Ordnung aufzufassen. Da
— h bei dem Grenzübergange lim x = a gegen Null
Vi
convergirt, so ist es selbst ein Unendlichkleines und möge
mit rj bezeichnet werden; aus dem Ansätze — n — h = y folgt
