Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 441 
cienten eine Determinante dritten Grades, welche zwei gleiche 
Reihen hat und daher Null ist; rechts ist die Formel 169, (14) 
zu beachten; man findet so 
dx 
<h[ 
dz 
ds 
ds 
ds 
d*x 
d*y 
d*z 
ds* 
ds 2 
ds 2 
d 3 x 
d s y 
d s z 
ds 3 
ds 3 
ds 3 
Daraus folgt, dass die Torsion das entgegengesetzte Vorzeichen 
der Determinante z/ hat, von welcher in 171 schon die Rede 
war; dort ergab sich auch, dass in einem Punkte mit statio 
närer Osculationsebene diese Determinante verschwindet, in 
einem solchen Punkte hat also die Torsion den Wert Null 
und wechselt bei dem Durchgänge durch denselben das Vor 
zeichen. Daraus ergibt sich eine Analogie zwischen einer 
stationären Osculationsebene einer Raumcurve und einer Wende 
tangente einer Plancurve auf der einen und zwischen Torsion 
und Krümmung auf der andern Seite. 
Das beständige Verschwinden der Torsion hat nach (15) 
zur Folge, dass 
d cos cp „ d cos d cos % A 
ds ~ ü 7 ds = ds = ö ’ 
also cos cp, cos^, cos% Constant sind; es kommt diese Eigen 
schaft also nur einer ebenen Curve zu; demnach ist eine ebene 
Curve dadurch gekennzeichnet, dass in allen ihren Punkten 
z/ = 0 ist. 
Ersetzt man in der linken Seite der Gleichung 
(£ — x) cos cp -f- (ji — y) cos ^ -f- (£ — z) cos x = 0 
der Osculationsebene |, rj, £ durch die Coordinateli eines 
Punktes, welcher von dieser Ebene in der positiven Binor- 
malenrichtung abweicht oder auf ihrer positiven Seite liegt, 
so ergibt sich dessen Abstand 8 positiv, im andern Falle 
negativ ; wählt man als solchen Punkt den Punkt M' der 
Curve, zu welchem der Bogen s -f- ii gehört und dessen Coor- 
dinaten demnach