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Erster Theil. Differential - Rechnung. 
Der Bestand der Gleichungen (8), (9) und damit zugleich 
die Existenz der Tangentialebene setzt voraus, dass p, q, be 
ziehungsweise bestimmte Grössen sind und dass 
die drei letztgenannten nicht sämmtlich Null sind*, die Glei 
chungen 
dF 
dx 
= 0 
cF 
dy 
0, 
cF 
dz 
0 
würden also einen Punkt charakterisiren, in welchem von einer 
Tangentialebene schlechtweg nicht gesprochen werden kann, 
einen singulären Funkt der Fläche, wie ein solcher beispiels 
weise die Spitze eines Kegels ist. 
180. Die Tangentialebene lässt noch eine andere Auffas 
sung zu, welche zugleich geeignet ist, das Verhalten der Fläche 
zur Tangentialebene in der Umgebung des Berührungspunktes 
näher kennen zu lehren. 
Jede Ebene, welche man durch den Punkt M auf der 
Fläche (1) legen kann, hat eine Gleichung von der Form 
(10) 4(S-») + B(ij-y) + O(t-i)=.0; 
wir denken uns eine dieser Ebenen herausgehoben und be 
stimmen den Abstand des Punktes M' mit den Coordinaten 
(5) von derselben; er ist 
^ -f- Cp) h + (ß + Cq)k ■ ^ t 
yj.* -f " r ? 
wobei s' wieder eine Grösse zweiter Ordnung bedeutet. 
Im Allgemeinen ist also d in Bezug auf h und k von der 
ersten Ordnung, ändert sein Vorzeichen, wenn h, k es ändern, 
die Ebene (10) schneidet daher im Allgemeinen die Fläche in M. 
Hat aber die Ebene eine solche Stellung, dass 
A+Cp = 0, B+Cq = 0 
ist, dann wird d von der zweiten Ordnung. Die Ebene ist 
dadurch völlig bestimmt; denn setzt man in (10) A — — Cp, 
B = — Cq, so geht die Gleichung über in 
£ — * = i>(l — x ) + ü(v — y) ■ 
Man kann also die Tangentialebene als diejenige unter den 
Ebenen durch den Funkt M definiren, welche sich der krummen 
Flüche in der Umgebung des Funktes am engsten anschliesst,