Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 457 
§ 4. Einhüllende Flächen. 
183. Es sei f{x, y, 8, u) eine eindeutige stetige Function 
der vier Argumente x, y, 8, U] die Gleichung 
(!) f0; y, 8,u) = 0 
stellt dann eine Schar von oo 1 Flächen oder ein einfach aus 
gedehntes Flächencontinuum dar. 
Ist die Gleichung in Bezug auf u algebraisch vom Grade 
p und liefert sie für den Punkt x 0 /y 0 /8 0 g (<p) reelle Werte 
von u, so sagen wir, der Raum sei durch die Flächenschar in 
dem genannten Punkte g-fach erfüllt. Bleibt die Zahl q für 
alle Punkte des Raumes dieselbe, so erfüllt das Flächeusystem 
den Raum gleichförmig. 
Wechselt die Zahl q ihren Wert, so zerfällt der Raum in 
Gebiete, welche ungleich vielfach erfüllt sind; an den Grenzen 
dieser Gebiete werden aus den in 161 näher entwickelten 
Gründen mindestens zwei der Werte u einander gleich. Dem 
nach sind diese Grenzen durch das Resultat der Elimination 
von u zwischen den Gleichungen 
(2 ^ | fi x , V, *, u ) = o 
\fu(oC, y, 8, u) = 0 
bestimmt, welches symbolisch dargestellt werden soll durch 
(3) Dscr tt /■(#, y, 8, u) — 0. 
Das Gebilde, welches dieser Gleichung entspricht, umfasst 
auch den Ort singulärer Punkte der Flächen (1), falls sie solche 
besitzen. 
Sehen wir von solchen Punkten ab, so ergibt sich die 
Bedeutung des in (3) enthaltenen Gebildes durch folgende Be 
trachtung. 
Bei feststehendem Werte von u gehört zur ersten der 
Gleichungen (2) eine specielle Fläche aus der Schar (1); die 
linke Seite der zweiten Gleichung geht aus 
f{x, y, », u -f h) — f(x, y, z, u) 
h 
bei dem Grenzübergange lim h — 0 hervor. Nun bestimmen 
die beiden Gleichungen