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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Meines positives 17 festsetzen derart, dass für jedes x aus dem 
Intervall (a — rj f a -f- rf) die Beziehung besteht 
1 /*(>') — f(p) I < , 
Der Wert f(a) gehöre dem Continuum (Ä, B) an; s sei 
klein genug festgesetzt, dass auch f(a) — a und f(a) -j- a dem 
Continuum angehören; diesen Functions werten entsprechen Werte 
der Yariabeln aus dem Intervall (a, ß), die sich in der Form 
a — h, a -j- h' oder a h, a — h' darstellen lassen, jenach- 
dem die Function in dem Continuum (Ä, B) wachsend oder 
abnehmend ist; ist h die kleinere der beiden positiven Zahlen 
h f h', so genügt jedes 17, das zwischen 0 und h liegt, der 
obigen Forderung. 
An den Endstellen x = a, x = ß ist nur zu einer Seite 
ein Intervall von der gedachten Eigenschaft feststellbar, 
(a, a + rf) links, (ß — 17, ß) rechts. 
Diese Eigenschaft der stetigen Function wird als „Stetig 
keit an der Stelle x — a“ bezeichnet und häufig zum Aus 
gangspunkt für die analytische Definition der Stetigkeit ge 
nommen, indem man erklärt, eine Function, welche an jeder 
Stelle des Intervalls (a, ß) die erwähnte Eigenschaft besitzt, 
sei stetig in dem ganzen Intervall. 
Bezeichnet x r einen zweiten Wert von x aus dem Intervall 
{a — rj, a -f- rj), so ist neben 
I f( x ') — /*(«) I < £ 
auch 
\f{x') — f{a)\<s, 
somit 
| f{x')-f{x)\<2a-, 
es ist also eine Folge der Stetigkeit, dass sich zu jeder Stelle 
a des Intervalls (a, ß) eine hinreichend enge Umgehung 
(a — rj, a -f- rf bestimmen lässt derart, dass irgend zwei 
Functionswerte aus dieser Umgebung eine Differenz geben, 
deren Betrag unter einer beliebig klein festgesetzten positiven 
Zahl 2 a liegt. Dieses Verhalten pflegt man auch so auszu 
drücken, dass bei einer stetigen Function an jeder Stelle zu 
einer unendlich kleinen Änderung der Yariabeln eine unend 
lich kleine Änderung der Function gehöre. 
Man kann die Eigenschaft 1) auch dahin aussprechen,